Niech \ |, .... x„ będą wartościami wielkości ekonomicznej X, zaśyi, — win (ościami wielkości ekonomicznej Y. Punkty empiryczne (X|,yi),{x,„y„) /ii/iiiic/,one w układzie współrzędnych zwykle układają się wzdłuż pewnej linii: prostej, paraboli, hiperboli, krzywej wykładniczej czy logarytmicznej. Jeżeli więi ustalimy przybliżoną zależność między wielkościami ekonomicznymi w postaci lii n kej i y f{x), przy czym / zależy od pewnej ilości parametrów, to do uzyskania tych parametrów można wykorzystać metodę najmniejszych kwa-dratów.
Metoda najmniejszych kwadratów polega na takim wyznaczeniu parametrów funkcji / wyrównującej dane statystyczne - aby suma kwadratów „odchyleń” wartości empirycznych y, od teoretycznych/(a*), czyli:
/•I
pi /vjmowjiła wartość najmniejszą.
n
Jeśli /(a) - ax + b (funkcja liniowa), to wtedy S = - axj - b)2 .
/-i
Przykład 7.11
Metodą najmniejszych kwadratów dopasować prostą f(x) = ax + b do danych empirycznych:
Xi |
0 |
2 |
4 |
yi |
i |
3 |
2 |
Uwaga: przykład ma na celu jedynie ilustrację tej metody, ponieważ wyciąganie wniosków odnośnie do charakteru krzywej przy danych jedynie trzech punktach empirycznych nie ma sensu.
Ponieważ /(a,) =/(0) = b, /(x2) =/(2) = 2a + b, /(x3) =/(4) = Aa + b, funkcja S, której minimum poszukujemy, jest funkcją 2 zmiennych a i b oraz przyjmuje postać:
S(a, b) = (1 - b)2 + (3 -2a- bf + (2 -4a- bf.
Zatem:
Sa'(a, b) = 2(3 -2 a- b)(-2) + 2(2 -Aa- b)(-A) = 30a + \2b - 28,
Sh'(a, 6) 2(1 6)( 1)4 2(1 2a 6h I) ♦ 2(2 Aa 6)( 1) I2<r t 66 12
W celu wyznaczenia punktu stacjonarnego rozwiązujemy układ równań
j30« +126-28 = 0 ^ Jl5a + 66 + l4
112z/ + 66 -12 = 0 [2a + 6 = 2
Punkt P0
2 2 .33
jest punktem stacjonarnym, czyli punktem, w którym .......
istnieć poszukiwane minimum. Badamy dla niego warunek wystarczający. S:a(a,b) = 30, Snah(a,b) = ]2, Sl(a,b) = \2, S'bh(a,6) = 6 oraz
W{P0) = W
'2 2"| |
30 |
12 |
s3’3J ~ |
12 |
6 |
180 -144 = 36 > 0 a 51
2 2^
30 >0
więc w punkcie P0 —funkcja S(a, 6) osiąga minimum lokalne.
\3 7>)
Zatem najlepiej dopasowana do danych empirycznych z tego przykładu jest
2 2
prosta określona wzorem: f(x) = — x + — .
Zadania
25. Metodą najmniejszych kwadratów dopasować krzywą / do punktów
empirycznych: a) f(x) = ax + b |
(-1; -0,9), (0; 1,1), (1; 2,8), |
b) f(x) = ax + b |
(1; 3,2), (2; 4,5), (3; 7,5), |
c) f(x) = ax2 + b |
(0; 1,1), (1; 1,9), (2; 5,2), |
d) f(x) = ax + 6 |
(-1; -1,2), (0; 0,3), (1; 1,1), |
e) f(x) = coc + b |
(1; 1), (2; 2), (6; 6), |
0 f(x) = ax2 + b |
(1; 2), (2; 4), (4; 4), (5; 2), |
g) f(x) = ax + b |
(1; 5), (2; 4), (3; 2), (6; 0), |
h) f(x) = ax + 6 |
(0; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 4), (4; 6). |