Picture3

Picture3



7.S. Melodii niij niniejszych kwadratów

Niech \ |, .... x„ będą wartościami wielkości ekonomicznej X, zaśyi, — win (ościami wielkości ekonomicznej Y. Punkty empiryczne (X|,yi),{x,„y„) /ii/iiiic/,one w układzie współrzędnych zwykle układają się wzdłuż pewnej linii: prostej, paraboli, hiperboli, krzywej wykładniczej czy logarytmicznej. Jeżeli więi ustalimy przybliżoną zależność między wielkościami ekonomicznymi w postaci lii n kej i y f{x), przy czym / zależy od pewnej ilości parametrów, to do uzyskania tych parametrów można wykorzystać metodę najmniejszych kwa-dratów.

Metoda najmniejszych kwadratów polega na takim wyznaczeniu parametrów funkcji / wyrównującej dane statystyczne - aby suma kwadratów „odchyleń” wartości empirycznych y, od teoretycznych/(a*), czyli:

ZLy/-/(*,)]2    (7.i3)

/•I

pi /vjmowjiła wartość najmniejszą.

n

Jeśli /(a) - ax + b (funkcja liniowa), to wtedy S =    - axj - b)2 .

/-i

Przykład 7.11

Metodą najmniejszych kwadratów dopasować prostą f(x) = ax + b do danych empirycznych:

Xi

0

2

4

yi

i

3

2

Uwaga: przykład ma na celu jedynie ilustrację tej metody, ponieważ wyciąganie wniosków odnośnie do charakteru krzywej przy danych jedynie trzech punktach empirycznych nie ma sensu.

Ponieważ /(a,) =/(0) = b, /(x2) =/(2) = 2a + b, /(x3) =/(4) = Aa + b, funkcja S, której minimum poszukujemy, jest funkcją 2 zmiennych a i b oraz przyjmuje postać:

S(a, b) = (1 - b)2 + (3 -2a- bf + (2 -4a- bf.

Zatem:

Sa'(a, b) = 2(3 -2 a- b)(-2) + 2(2 -Aa- b)(-A) = 30a + \2b - 28,

Sh'(a, 6) 2(1    6)( 1)4 2(1 2a 6h I) ♦ 2(2 Aa 6)( 1) I2<r t 66    12

W celu wyznaczenia punktu stacjonarnego rozwiązujemy układ równań


j30« +126-28 = 0    ^ Jl5a + 66 + l4

112z/ + 66 -12 = 0    [2a + 6 = 2

Punkt P0


2 2 .33


jest punktem stacjonarnym, czyli punktem, w którym .......


istnieć poszukiwane minimum. Badamy dla niego warunek wystarczający. S:a(a,b) = 30, Snah(a,b) = ]2, Sl(a,b) = \2, S'bh(a,6) = 6 oraz

W{P0) = W

'2 2"|

30

12

s3’3J ~

12

6

180 -144 = 36 > 0 a 51


2 2^

30 >0

3 3 J

f2 2)

więc w punkcie P0 —funkcja S(a, 6) osiąga minimum lokalne.

\3 7>)

Zatem najlepiej dopasowana do danych empirycznych z tego przykładu jest

2 2

prosta określona wzorem: f(x) =x + — .

Zadania

25. Metodą najmniejszych kwadratów dopasować krzywą / do punktów

empirycznych: a) f(x) = ax + b

(-1; -0,9), (0; 1,1), (1; 2,8),

b) f(x) = ax + b

(1; 3,2), (2; 4,5), (3; 7,5),

c) f(x) = ax2 + b

(0; 1,1), (1; 1,9), (2; 5,2),

d) f(x) = ax + 6

(-1; -1,2), (0; 0,3), (1; 1,1),

e) f(x) = coc + b

(1; 1), (2; 2), (6; 6),

0 f(x) = ax2 + b

(1; 2), (2; 4), (4; 4), (5; 2),

g) f(x) = ax + b

(1; 5), (2; 4), (3; 2), (6; 0),

h) f(x) = ax + 6

(0; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 4), (4; 6).


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zdj?cia 0018 (2) Symboliczny zapis Niech Si P będą niepustymi nazwami generalnymi. SsJ> - zdanie
zyczenia na Boze Narodzenie 1 W noc wigilijną, w blasku świec melodia kolęd płynie w mrok. Niech Wam
IMGP1449 Pojęcie relacji i relacji zi [Definicja Niech dane będą zbiory Di, Dj,D„. Relacją matematyc
Przechwytywanie w trybie pełnoekranowym 14 04 173043 bmp Obroty Niech dane będą punkt A i prosta I
skanowanie0044 148 pracy nie będą ściśle określone. W kwadracie czwartym cenione będą struktury biur
Twierdzenie Niech V, W. Z będą przestrzeniami liniowymi. Niech f: V —> N oraz g : W —> Z będą
Twierdzenie Niech V. W, Z będą przestrzeniami liniowymi. Niech f: V —> W oraz g W — Z będą
IMGP1465 Systemy baz dany"; Złączenie (ang. join): Niech dane będą relacje R typu X i S typu Y.
Kolokwium ze Złożoności Obliczeniowej 26 kwietnia 2003 8-4
CZESC< (2) 3. Niech dane będą niezależne zmienne losowe X, Y takie, ze X ~ A^/w^cr,), Y ~ iV(77i2,cr
zdjecie0017 19 Niech fig będą odwzorowaniami takimi, Ze: f: I —* U, g: Z— Y, gdzie TJ C Z.
6.2 Granica funkcji Niech dane będą: zbiór A CTln , funkcja / : A—* Tli Po-punkt skupienia zbioru A.
WSiP6 26 BAZY DANYCH I SYSTEMY BAZ DANYCH Zbiór A, w którym przechowujemy cyfry (niech to będą cyfr
Zdj?cia 0019 (2) Związki logiczne w obrębie czterech zdań kategorycznych Niech S oraz P będą dowolny
10 (68) 219 Formy różniczkowe 10.17. Mnożenie. Niech co i A będą odpowiednio p-formą i g-formą okreś
WM Z okazji Świąt Bożego Narodzenia życzymy spokoju i rodzinnego ciepła. Niech to będą Swifta,
lista 3a 1. Zwój cewki ma kształt kwadratu. Z jaką siłą będą na siebie działać w powietrzu przeciwle

więcej podobnych podstron