skanuj0012 6

ALBEBRA(2007r)l.termin

1    Wykazać, że każdy pierścień P — (P; +,    , 0,1) łączny z jedynką, jest izomorficzny z pewnym

podpicrścieniem pierścienia Q = (P^F;+,o,—,0,1), gdzie o jest złożeniem a O, 1 funkcjami stałymi.

2    Wyznaczyć wszystkie kongruencje algebry Aję({l,2,3,4};<r), gdzie <7 jest cyklem rzędu 4.

3    Znaleźć wielomian minimalny liczby algebraicznej \/i + i.

4 Skonstruować w grupie (Z;    — ,0) nieskończony ciąg podgrup? 7^6^ Gj V " ^{Ł v} '

5    Rozłożyć na iloczyn rozłącznych cykli złożenie cyklu [?i,*2; —z transpozycją

6    Rozstrzygnąć, czy zbiór G wszystkich macierzy A € M_niTl(R), które w każdym wierszu ideażdej kolumnie mają dokładnie jedną jedynkę a pozostłe elementy są zerami jest podgupą normalną grupy GL_n(R) wszystkich macierzy odwracalnych.

. 7 Uzasadnij, dlaczego pierścień szeregów formalnych C[[x]] nie jest ciałem.

8    Podać przykład pierścienia niełącznego niepzemiennego bez jedynki.

9    Wskazać nieskończenie wiele podciął ciała R.

10 Wyznaczyć NWD(f,g), gdzie / = x*.g = x² +5 1 są wielomianami z Z5[a;].

Każde zadanie punktowane jest w skali 0-4. Czas trwania egzaminu 120 min.