top13

25

§7 HansdorlTowski aksjomat oddzielania

*

Hausdorffowski aksjomat oddzielania nosi również nazwę aksjomatu T₂. Czyż nie brzmi to tak, jakby był także aksjomat Tj? Owszem: są aksjomaty T_0> T_lt T₂, T_y> T_ą, Tj, a nawet T_5I2 i T,_l2\ Jednakże aksjomat Mausdorffa jest znacznie ważniejszy od innych i najbardziej zasługuje na uwagę. Czy więc teraz dowiemy się, co oznacza T,...? Otóż nie: z tym możemy poczekać.

§8. Zwartość

Jakąż cudowną własnością jest zwartość! Zwłaszcza w topologii różniczkowej czy algebraicznej z reguły wszystko robi się szybciej, łatwiej i pełniej, mając zwarte przestrzenie, rozmaitości, CW-komplcksy, grupy itd. 1 chociaż nie wszystko na święcie jest zwarte, to dla „niezwartych” problemów przypadek zwarty jest częstokroć dobrym punktem wyjścia. Musimy najpierw opanować „zwarty teren", który jest łatwiejszy do zdobycia, a następnie, modyfikując wypracowane już techniki, poszerzyć naszą drogę dla niezwartego przypadku. Tę regułę potwierdzają wyjątki. Niekiedy niezwartość także oferuje korzyści, dając „więcej miejsca” dla pewnych konstrukcji... Ale najpierw

Definicja (zwartość). Przestrzeń topologiczną nazywamy zwartą, jeśli każde jej otwarte pokrycie ma skończone podpokrycie. Oznacza to, że X jest zwarta, jeśli spełniony jest następujący warunek: Jeśli = {U,^xUeA jest dowolnym otwartym pokryciem przestrzeni X, tzn. U_A c X są otwarte oraz y^_e/t U_x = X. to istnieje skończona liczba indeksów ż, — ,ż.,ed takich. żc,(/_illu...uL^,-)> - X.

(Uwaga. Wielu autorów nazywa powyższy warunek „quasi-zwartością", terminem „zwartość” nazywając „quasi-zwartość i hausdorffowość”)

Dla przestrzeni zwartych możliwe jest wnioskowanie o własnościach globalnych na podstawie własności lokalnych. Niech mianowicie P będzie własnością, którą otwarte podzbiory przestrzeni X mogą mieć lub nie, taką że jeśli mają ją U i V> to musi ją mieć także U u V (przykłady poniżej). Wówczas, jeśli X jest zwarta i ma tę własność lokalnie, tzn. każdy punkt ma otoczenie o własności P, to własność P przysługuje całej przestrzeni X. Istotnie, otwarte otoczenia o własności P tworzą otwarte pokrycie {(/,}«* przestrzeni X, a zatem X - U,,u...uV_Xr dla stosownie dobranych x,, a przez indukcję wnosimy, że skończona suma dziedziczy własność P po swych składnikach.

Przykład 1. Funkcja lokalnie ograniczona (w szczególności ciągła)/: X -* R na zwartej przestrzeni X jest ograniczona.

Przykład 2. Jeśli (/„)„„, jest ciągiem funkcji na X zbieżnym lokalnie jednostajnie, przy czym X jest zwarta, to ciąg ten jest zbieżny jednostajnie.