top18

30 1. Podstawowe pojęcia

Z ciągłością, niestety, wcale nie jest lepiej: przykładem może być odwzorowanie identycznościowc zbioru X z topologią dyskretną na zbiór X z topologią trywialną Nie trzeba się tu zresztą uciekać do tak egzotycznych przykładów. Wystarczy owinąć jednokrotnie półotwarty przedział [0, 2n\ wokół jednostkowego okręgu, używając funkcji r i—► e*', aby otrzymać ciągłą bijekcję nie będącą homeomorfizmem

gdyż okrąg, w przeciwieństwie do półotwartego przedziału, jest zwarty. Ale nawei jeśli/^-1 jest ciągłe, to sprawdzenie lego może niekiedy być kłopotliwe, np. jeśł o ciągłości /wnioskujemy na podstawie wzoru postaci y = f(x), a funkcji odwrotne w analogicznej postaci x =/^-,(y) wyrazić explicite nie potrafimy. Z tego powodi dobrze jest mieć warunek, dostatecznie ogólny i często spełniany, gwarantując) ciągłość odwrotności ciągłej bijekcji:

Twierdzenie. Ciągła bijekcja /: X -» Y zwartej przestrzeni X nu przestrzeż. Hausdorffa Y jest homeomorfizmem.

Dowód. Mamy wykazać, że obrazy zbiorów otwartych są otwarte, co jest równoważne z tym, że obrazy zbiorów domkniętych są domknięte. Niech więc Acz X będzie domknięty. Wówczas A (jako podzbiór domknięty przestrzeni zwartej jest zwarty. Zatem f{A) (jako ciągły obraz przestrzeni zwartej) jest zwarty, a więc O'ako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa) domknięty. □

I