top6

18

1. Podstawowe pojęcia

Ten formalny zabieg nie przeszkadza nam, oczywiście, traktować X i Y jako podzbiory X + Y.

Intuicyjnie operacja ta jest po prostu zestawieniem rozłącznych kopii obu zbiorów; ponieważ X i Y mogą nic być początkowo rozłączne, więc X + Y może się różnić odJfu Y(np. XuX składa się z jednej, podczas gdy X + X - z dwóch kopii zbioru X).

X + Y

Definicja (suma rozłączna przestrzeni topologicznych). Jeśli (X,&) i (Y, $) są przestrzeniami topologicznymi, to zbiór X + Y, wyposażony w topologię {1>'+K| Uę(9, Ve&}, nazywamy topologiczną sumą rozłączną przestrzeni X i Y.

Definicja (topologia produktowa). Niech X i Y będą przestrzeniami topologicznymi. Podzbiór W c: X x Y nazywamy otwartym w topologii produktowej, jeżeli dla każdego punktu (x, y)e lYistnieją otoczenia U c X punktu x oraz V c Ypunktu >• takie, że U x V <z W. Zbiór X x Y wyposażony w powyższą topologię nazywamy produktem (kartezjańskim) przestrzeni topologicznych X i Y.

Poglądowym wyobrażeniem produktu karlczjańskiego jest zwykle prostokąt l    l; takie wyobrażenie jest zupełnie adekwatne, dopóki jakieś dodatkowe

okoliczności nic komplikują sprawy. Nazwijmy produkt U x V c X x Y otwartych zbiorów U <= X i V c Y otwartą kostką. Kostki otwarte są oczywiście otwarte w topologii produktowej. Nie są one jednakże jedynymi zbiorami otwartymi: same kostki otwarte nie tworzą topologii, gdyż suma dwóch kostek na ogół nic jest kostką: