top2

14

I. Podstawowe pojęcia

Kiedyś, gdy byłem jeszcze studentem w Tiibingcn, przerabialiśmy porcję ćwiczeń po wykładzie o tych podstawowych pojęciach. Na wykładzie zostało już wykazane, że zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego punkt jest jego punktem wewętrznym, jedno zaś z ćwiczeń brzmiało: Wykazać, że punkty wewnętrzne dowolnego zbioru tworzą zbiór otwarty. Jeden ze studentów zapytał, dlaczego nie akceptujemy jego argumentacji: „Zbiór punktów wewnętrznych zawiera tylko punkty wewnętrzne (niepodważalna tautologia), więc problem jest trywialny.” Gorliwie próbowaliśmy przekonać go, że mówiąc o punktach wewnętrznych musi zawsze dodać, jakiego zbioru są one punktami wewnętrznymi. Okazało się to daremne, bo akceptując naszą uwagę, pozostał przy swoim zdaniu, dodając, że usiłujemy dzielić włos na czworo.

Z tego powodu Czytelnikowi, będącemu zupełnym nowicjuszem w tej dziedzinie. radziłbym niezwłocznie sprawdzić, że wnętrze 0 jest sumą wszystkich zbiorów otwartych zawartych w B, a domknięcie B jest przecięciem wszystkich zbiorów domkniętych zawierających B. A do przemyślenia na spokojne popołudnie dodam następujące uwagi.

Każde z trzech pojęć zdefiniowanych powyżej przy użyciu zbiorów otwartych, mianowicie „zbiory domknięte”, „otoczenia" i „domkniecie", może z kolei zostać użyte do scharakteryzowania otwartości. Faktycznie, warunki: „0 jest otwarty", „A\0 jest domknięty”, „0 jest otoczeniem każdego swojego punktu" i ,.X\B jest równy swojemu domknięciu" są wzajemnie równoważne. Zatem możliwe jest wyrażenie systemu aksjomatów definiujących przestrzeń topologiczną w terminach każdego z tych trzech pojęć, np.

Definicja alternatywna (aksjomatyka zbiorów domkniętych). Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (X, Q)_% złożoną ze zbioru X oraz zbioru ^ podzbiorów (nazywanych „zbiorami domkniętymi") zbioru X, spełniającą następujące aksjomaty:

Dl. Dowolne przecięcie zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

D2. Suma dowolnych dwóch zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

D3. X oraz 0 są zbiorami domkniętymi.

Ta nowa definicja jest równoważna z poprzednią: (A^-, O) jest przestrzenią topologiczną w sensie starej definicji wtedy i tylko wtedy, gdy (A, &) jest nią w sensie nowej, gdzie &:= {A\K| VeO}. Startując z drugiej definicji, mielibyśmy domk-niętość jako pojęcie pierwotne, a otwartość należałoby określić, przyjmując, że FcA jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy A\ F jest domknięty. Przy tym określenia (2)-(5) pozostałyby niezmienione, prowadząc do tego samego systemu pojęć, który otrzymaliśmy na początku. Tradycyjnym punktem wyjścia stały się zbiory otwarte, jednakże pierwsza historycznie aksjomatyka podana przez Hausdorf-fa była oparta na bardziej intuicyjnym pojęciu otoczenia:

Definicja alternatywna (aksjomatyka otoczeń). Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (A, 91), złożoną ze zbioru A oraz rodziny 91 = {9l,),_eV zbiorów 9l_x,