Untitled Scanned 38

102

§ 3. ARYTMETYKA LICZB NATURALNYCH G. PEANA

Pierwsze aksjomatycznc ujęcie arytmetyki liczb naturalnych zostało zaproponowane jeszcze w roku 1889 przez G. Peana. Ujęcie to było później udoskonalane i modyfikowane przez innych matematyków. Owe udoskonalenia i modyfikacje były jednak stosunkowo niewielkie, w związku z czym każdy znany dzisiaj system aksjomatyczny arytmetyki liczb naturalnych bywa dość powszechnie nazywany systemem Peana. Poniżej opiszemy jeden z takich systemów. Od oryginalnego systemu Peana będzie się on różnił głównie tym, że nic będą w nim występowały żadne pojęcia teoriomnogo.ściowc (takie jak pojęcie zbioru czy predykat e). Będzie to więc jak to się mówi obecnie system elementarny. Zaczniemy - jak zawsze od dokładnego opisu języka arytmetyki.

DEFINICJA 3.1. Następujące .symbole nazywamy znakami języka arytmetyki liczb naturalnych:

i a v -» «-► a V	(stałe logiczne),
X, x2 x3 ...	(zmienne indy widu owe),
=	(predykat dwuczłonowy),
0	(nazwa indywidualna: zero).
S	(symbol funkcyjny jednoargumentowy),
+ •	(symbole funkcyjne dwuargumentowe),
( )	(nawiasy).

U w aga. Symbol S czytamy: następnik. Oznacza on funkcję, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje liczbę naturalną o jeden większą: a więc S (x) = x+l.

DEFINICJA 3.2. (i) Każda zmienna indywiduowa x_t oraz nazwa indywidualna 0 jest termem (albo formulą nazw ową) języka arytmetyki, (ii) Jeżeli a jest dowolnym termem, to wyrażenie SI a) jest również termem, (iii) Jeżeli a i fi są dowolnymi termami, to wyrażenia (a) + (/f) oraz (a) • (//) są również termami. (iv) Nie ma innych termów (języka arytmetyki) prócz tych, które są wymienione w punkcie (i) oraz tych, które można skonstruować wedle reguł podanych w punktach (ii) oraz (iii).

DEFINICJA 3.3 (i) Jeżeli a i (i są dowolnymi termami {języka arytmetyki), to wyrażenie a = (l jest formulą zdaniową (języka arytmetyki), (ii) Jeżeli A jest