00098481

254

254

przy czym ofldrl) - Oi(Młł)+>>z(Mz|) jest rajdu wyżccgo niż |/łr|, gdy Ułr|-» 0, tzn.

|4»|-o |dz)

Stąd

Aw

■kończenie małą (o wartołcmch rzepo louych) (10-44)

ofldrl)

Suma w natwaiic po prawej stronie t«j równołci jest określoną liczbą, nkzakżną a drogi składnik dąży do zer* gdy dz~* 0, co jesl konsekwencją równości (111.44). Wynik* stąd,

Aw    da 4c ,

że floraz — ma granicą właściwą gdyJz— 0, t zatem/’(z^ tstnkgo I równa się -—t-y—,cad-Az    ijctx

Uwaga. Załtrirnie a rńżraczkowalnoid funkcji afz, y) I c(x, y) w punkcie (z*; yj jl tlabszr od założeni* auńeni* i ciągłości w otoczeni ii punktu (*»; /o) pochodnych (UL41), natom* je*t sihdeiizc od założenia ciągłości funkcji f(z) w punkcie Zo. Wynika stąd, te jeżeli funkcja ■<■*. f) i e<z, y) są klaty C* w pewnym otocaniu punktu <*•;*»). a ponadto w punkcie tyra spełnione są warunki C^cky’ef-Kttmnw*, to pochodna/'(z.) atnicje. Nie wynika stąd natomiast, to cłągkdć funkcji/(z) w punkcie r, osaz spełnienie w tym punkcie warunków Ckucby^ego-JUonanna zapewni* istnienie pochodnej/’&«). Udowodniono jednak, te jeżeli funkcja /(z) jest ciągi* w pewnym ohtzmzt i spełnia w nim warunki Ćauchy’«§o-Rieraanaa, to istnieje pochodna f(t) w każdym punkcie tego obszaru. Ten warunek wystarczający, który dotyczy istnienia pochodnej /*(*) w pewnym obszaru, jest bardm

/(z) - ®* coa >+/e* sio y

Funkcje a(z, y) i v(x, y) są tu klazy C* na całej płaszczyźnie, a ponadto

- e»coay.	łe
do	dc

wiec warunki C«w*y^-»r>-X*r»Manu tą wwłniooe. Wynika stąd, że rozpatrywana funkcja ma w każdym punkcie zą płaszczymy pochodną /"(*♦)• Tą pochodną można obliczyć na przykład n mocą wzoru (III-M)

/'(*»)•" c*»coąy*+ye*» sin y₀

/”(**) « e*e • e)'«,    czyli /'(z«) - *>•

Nazwa wonmki Cauchy'ego-Riemama, którą wprowadziliśmy dla równości (111.40), nie ma uzasadnienia historycznego. Warunki te znane już były w XVIII w. d*AuBxgEaTowK i Etnnowt, a więc nie tylko na wiele lat przed urodzeniem Rre* manna, ak także przed urodzeniem Cauch^eoo. 7j»thigą Cauchy'KK> i Rl£-hanna jest jednakże precyzyjne zbudowanie podstaw wtpókzesBej teorii funkcji zmiennej zespolonej i z tego względu ich nazwiska związano z równościami (111.40), które mają dla tej teorii podstawowe znaczeni*. Należy zaznaczy*, że warunki (IU-40) pojawiły się po raz pierwszy w łych pracach d’Alemberta i Eulera, które dotyczyły zagadnień hydromechaniki.

Obłkztałe pochodnej f'(s). Omówimy teraz w krótkim zarysie (pomijając dowody) obliczanie pochodnej funkcji zmiennej zespolonej. Wzory i twierdzenia, jakie przy tym podamy, mają dobrze znane odpowiedniki w rachunku różniczkowym funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Fakt ten wynika stąd, że definicja (ITL35) ma taką samą postać jak definicja pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej.

Na wstępie wprowadzimy nowy, bardziej dogodny w wielu wzorach symbol pochodnej, mianowicie

Ł '

dz

który będziemy używali na równi z symbolem/'(z).

■Przechodzimy teraz do podania kilka podstawowych wzorów i twierdzeń.

Pochodna funkcji stałej Az) — c jest równa zeru

/■« - o

Pochodna funkcji potęgowej /(z) = z", wyraża się wzorem

A*)-**-¹

Litera n oznacza tu dowolną liczbę naturalną.

FrartiOr

m- 3+y. m-o, m - r\ n*)■= j**

Tw. (o działaniach arytmetycznych na pochodnych). Jeieli istnieją pochodne

£■,* »

* *

oraz, przy dodatkowym zaiaieniu A(r) * 0

ii/Ml

*wJ“ **«

/(*)-.*+**,    f<*)- l+3r».

-4-. #•«-

żr-IO*. si*)'

*<r) - Jr-O l-I I ? "

(a^O)