0027

28

Liczby rzeczywiste

Potęgą liczby a> 1(¹) o wykładniku fi nazywamy (i oznaczamy symbolem </) liczbę rzeczywistą y zawartą pomiędzy potęgami a⁴ i a⁴':

(1)    a⁴<y<a⁴'.

Łatwo przekonać się o tym, że taka liczba zawsze istnieje. Rzeczywiście, zbiór potęg {a⁴} jest ograniczony z góry, np. dowolną potęgą a⁶. Weźmy więc [11]

y = sup {a⁶}.

b<p

Dla tej liczby mamy

oc⁴<)>^a⁴\

W istocie znak równości jest zbędny, ze względu na możność powiększenia b i zmniejszenia b', a więc skonstruowana liczba spełnia warunki (1).

Przejdźmy teraz do dowodu jednoznaczności liczby, określonej tymi warunkami.

W tym celu przede wszystkim zauważmy, że lemat 2 [8] pozostaje w mocy i w tym przypadku, gdy pominiemy żądanie, żeby liczby s, s' i e były wymierne; dowód pozostaje bez zmian.

Następnie udowodnimy proste ale ważne twierdzenie wiązane często z imieniem J. Bernoulliego, a dotyczące nierówności: jeżeli njest liczbą naturalną, większą od jedności, iy>l,to

(2)    y"> 1 + n(y — 1).

Rzeczywiście, przyjmując y= 1 + X, gdzie A>0, na podstawie wzoru na dwumian Newtona mamy

(l+A)"=H-nA-|-...;

ponieważ pozostałe, a nie napisane wyrazy są dodatnie, więc

(1 + A)" > 1 + n k,

co równoważne jest nierówności (2).

Przyjmując tu y—a^1/n (a>l) otrzymujemy nierówność

.. a — 1

(3)    cc¹¹ — 1 <-,

n

którą się teraz posłużymy.

Wiemy, że liczby b i b' można wybrać tak, żeby różnica b'-b była mniejsza niż l/n przy dowolnie danej liczbie naturalnej n. Mamy wówczas w myśl nierówności (3)

a⁶'-a^t=₁V'-‘-l)<aV^,'-l)<a^t — •

1

Można się ograniczyć do tego przypadku, przyjmując dla a<l, że