0032

ROZDZIAŁ I

TEORIA GRANIC

§ 1. Ciąg i jego granica

22. Wielkość zmienna, ciąg. W fizyce i innych naukach przyrodniczych czytelnik spotkał się ze zbiorem różnych wielkości: czas, długość, objętość, masa itp. Dowolna z tych wielkości, zależnie od okoliczności, przyjmowała różne wartości, lub tylko jedną wartość. W pierwszym przypadku mieliśmy do czynienia z wielkością zmienną, w drugim ze stalą.

W matematyce jednakże pomijamy sens fizyczny rozważanej wielkości, interesując się jedynie liczbą, która jej odpowiada; sens fizyczny wielkości powraca tylko wtedy, gdy zajmujemy się zastosowaniami matematyki. Tak więc dla nas wielkość zmienna (krótko: zmienna) jest zmienną oderwaną, czyli liczbową. Oznaczamy ją jakimś symbolem, np. literą x, któremu przypisujemy wartości liczbowe.

Zmienną uważamy za znaną, jeżeli wskazano zbiór %’ = {x} wartości, jakie może przyjmować zmienna. Wielkość stałą (krótko: stalą) dogodnie jest rozważać jako szczególny przypadek zmiennej; zakładamy wówczas, że zbiór SC = {*} składa się z jednego elementu.

Ustalając pojęcie granicy zmiennej x nie wystarcza znać, do jakiego zbioru SC należą wartości tej zmiennej. Należy jeszcze wiedzieć, jakie wartości ona przyjmuje (niektóre mogą się powtarzać) i w jakim porządku. Odkładając omówienie zagadnienia zmiennej skierowanej i jej granicy w ogólnym sformułowaniu do końca trzeciego tomu (^ł) (gdy czytelnik zdobędzie dostateczne doświadczenie w tej dziedzinie), poświęcamy ten rozdział zbadaniu jednego, najprostszego i zarazem najważniejszego szczególnego rodzaju tej zmiennej wielkości.

Zacznijmy od ustalenia pojęcia ciągu liczbowego. Rozważmy ciąg liczb naturalnych (1)    1,2,3, ..., n, ..., n, ... ,

w którym liczby położone są w porządku rosnącym tak, że większa liczba n' następuje

(') Por. Uzupełnienie: Ogólny punkt widzenia na granicę.

3 G. M. Fichtcnholz