0042

43

§ 1. Ciąg i jego granica

taki wskaźnik N_E, że dla n>N_E jest

x„>£ (lub odpowiednio x„<—E).

Piszemy wówczas

lim x„= + oo lub x_n-> + oo (limx„=— oo lub x„-> — oo) .

Niekiedy mówimy też, że ciąg x„-» + oo, x„-> — oo, lub o własności |jcJ-» + oo, jest nieskończenie dużą (w odróżnieniu od nieskończenie małej rozpatrywanej poprzednio).

Z definicji granic nieskończonych wynika, że jeśli ciąg ma granicę +oo ( — oo), to począwszy od pewnego miejsca jest stale x„>0 (x„<0).

Jako przykłady mogą służyć ciągi

x_n = n ,    x„= -n , x_n=( — l)"⁺¹n ,

z których pierwszy jest ciągiem liczb naturalnych, drugi ciągiem liczb całkowitych ujemnych w porządku malejącym, a trzeci jest ciągiem naprzemiennym utworzonym z ciągu liczb naturalnych przez wzięcie co drugiej liczby przeciwnej. Pierwszy ciąg ma granicę + oo, drugi —oo, a trzeci nie ma wcale granicy, natomiast bezwzględne wartości wyrazów ciągu dążą do +oo.

Jeszcze jednym przykładem ciągu dążącego do +oo jest

x„ = Qⁿ    dla    Q> 1.

Rzeczywiście, dla dowolnego £>0 nierówność

*n = Qⁿ>E

jest spełniona, jeżeli tylko

log₁₀ £ ,

nlog₁₀e>log₁₀£,    tj.    n>--(),

‘OgloC

czyli za N_E można wziąć liczbę

riogi₀£~[

Liog₁₀eJ

Ciąg x„ = Qⁿ dla Q<-1 nie ma granicy, ale jego wartości bezwzględne dążą do +oo. Z liczbami niewłaściwymi +oo i — oo spotykaliśmy się już w ustępie 10. Należy pamiętać, że stosowanie tych liczb ma charakter czysto umowny i należy unikać wykonywania na nich działań arytmetycznych.

Wprowadzenie granic nieskończonych nie narusza twierdzenia o jednoznaczności granicy, ustalonego w ustępie poprzednim (patrz 5°). Rzeczywiście, udowodniliśmy tam, że ciąg {x„} o skończonej granicy a jest ograniczony, więc nie może dążyć do +oo lub -00.

Na zakończenie przytoczymy prosty związek, jaki zachodzi pomiędzy ciągami rozbieżnymi do +oo, —oo lub bezwzględnie rozbieżnymi do nieskończoności a ciągami zbieżnymi do zera.

C) log.o £>0, bo Q> 1.