0038

39

§ 1. Ciąg i jego granica

jest równoważna nierówności:

1 1

— <log«(l+£),    czyli «>-----

n    log₀(H-£)

r i

spełnionej dla n>N,= \-

Ll°ga(l + e)

Zgodnie z różnymi sposobami rozumowania doszliśmy do różnych wyrażeń na N_t. Na przykład

[—L_L

[o,00432... J

9

przy a—10,e = 0,01 otrzymujemy N₀,_al =    ~ = 900 przy pierwszym sposobie, oraz N_{o oi} =

=231 przy sposobie drugim. Przy drugim sposobie otrzymujemy najmniejszą z możliwych wartości na N„ bo już 10^l/231 = 1,010017 ... różni się od 1 więcej niż o 0,01. Tak samo jeśt w ogólnym przypadku, bo jak łatwo widzieć, dla n<-- musi być a'¹" — i >£.

log„(l+«)

Zauważmy w związku z tym, że w ogóle nie jesteśmy zainteresowani właśnie najmniejszą możliwą wartością N,, jeśli chodzi tylko o Stwierdzenie faktu dążenia do granicy. Należy tylko zagwarantować spełnienie nierówności (3), zaczynając od pewnego wskaźnika, a nie jest już istotne, czy wskaźnik ten jest bliski czy daleki.

6) Ważnym przykładem ciągu zbieżnego do 0 jest ciąg

a„ = g", gdzie g\ < 1 .

Aby udowodnić, że a„->0, rozważmy nierówność

H=kr<«.

równoważną nierówności

loge

” log |?| Cloge, czyli n>—— (²).

logkl

Tak więc, jeśli przyjąć (dla e<l)

to przy n>N_t wspomniana nierówność na pewno jest spełniona. Analogicznie, łatwo przekonać się o tym, że ciąg

bn^A-g",

gdzie jak poprzednio k|<l, a A jest liczbą stałą, dąży do zera.

7) Rozważmy teraz postęp geometryczny nieskończony malejący

a,ag,ag², ..., ag"^-1, .... kl<l

i postawmy zagadnienie wyznaczenia jego sumy.

Jak wiadomo, przez sumę postępu nieskończonego rozumiemy granicę, do której dąży suma s„ jego n wyrazów przy nieograniczonym wzroście n. Ale

a —ag" a a „

\-g    \-g    \-g ⁹ ’ ¹

1

Przez log x rozumiemy tu Gak zawsze) log,₀ x. Należy zwrócić uwagę na to, że |?| <1 i log |?| < <0. Dlatego przy dzieleniu obu stron nierówności przez log |g| należy zmienić znak nierówności na przeciwny.