0034

35

§ 1. Ciąg i jego granica

Ogólny wzór na obwód regularnego wpisanego wielokąta możemy podać dopiero po wprowadzeniu liczby n; ogólnie obwód p_m regularnego wpisanego w-kąta dany jest wzorem

JC

p_m = 2mR sin — • m

W innych przypadkach możemy nie znać wyrażenia na ogólny wyraz ciągu x„ danego wzorem (2). Tym niemniej uważamy, że ciąg x„ jest znany, jeżeli znamy prawo określające dowolny wyraz przy znanym wskaźniku wyrazu. Dlatego też, znając regułę na przybliżone wartości pierwiastków, możemy uważać za znany cały ciąg przybliżeń dziesiętnych y/2, choć nie znamy wyrażenia na wyraz ogólny.

Jeżeli ciąg we wskazanym sensie jest znany, to dany jest nie tylko cały zbiór wartości wyrazów ciągu, ale również określony jest porządek przyjmowania tych wartości; każdemu wskaźnikowi odpowiada wyraz ciągu i z dwóch wartości tę uważamy za następną, której wskaźnik jest większy.

Jeszcze raz podkreślamy, że wartości zmiennej nie muszą być koniecznie różne Jeśli np. określimy ciąg jednym ze wzorów:

x„ = l ;    x„=(-l)"⁺¹ ;    =    —- ,

n

to odpowiednie ciągi mają postać

1,	1,	1,	1 ,	1 ,	1,
1	2	3	4	5	6
1,	-1 ,	1,	-1,	1 ,	-1 ,
1	2	3	4	5	6
0,	1 ,	o,	ł.	0,	4,
1	2	3	4	5	6

W pierwszym przypadku mamy po prostu do czynienia z wielkością stałą, i cały zbiór przyjmowanych przez ciąg wartości sprowadza się do jednego elementu. W drugim przypadku zbiór wartości składa się z 1 i —1, przyjmowanych na przemian. W trzecim przypadku zbiór wartości ciągu jest nieskończony, co nie przeszkadza, że co drugą wartością zmiennej jest 0; uważamy przy tym, że wartość 0 na piątym miejscu następuje nie tylko po wartości 1 na drugim miejscu, ale także po wartości 0 na pierwszym miejscu.

23. Granica ciągu. Czytelnik również zna ze szkoły to pojęcie. Oto dokładna definicja granicy ciągu:

Stałą liczbę a nazywamy granicą ciągu {x„}, jeżeli dla każdego dodatniego, dowolnie małego e, istnieje taka liczba N, że wszystkie wartości x„ o wskaźniku n>N spełniają nierówność

(3)    |x_B-a|<e.