0057

58

I. Teoria granic

skąd otrzymujemy (por. przykład 2»

lim «„=Km

(k + l)k _k_

-n

2

(k + i)kn^k~

‘+..:

i

T ■

§ 3. Ciąg monotoniczny

34. Granica ciągu monotonicznego. Przytaczane dotąd twierdzenia o istnieniu granicy ciągu miały następujący charakter: przy założeniu, że pewne ciągi posiadają granice, wnioskowano o istnieniu granic dla innych ciągów, ale w pewien sposób powiązanych z poprzednimi. Nie stawiano natomiast pytania o kryteria istnienia skończonej granicy dla danego ciągu, danego bez związku ,z innymi ciągami. Pozostawiając rozwiązanie tego pytania w ogólnej postaci do § 4, ustępy 39 - 42, rozważmy teraz ogólną i ważną klasę ciągów, dla których można to zagadnienie łatwo rozwiązać Ciąg {*„} nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli

x₁<x₂<...<x_B<x„₊₁<...,

tj. jeżeli przy n' >n mamy x„. > x_n. Ciąg nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli

x₁^x₂^...^x_n<x„₊₁^...,

tj. jeżeli z n' > n wynika tylko x„. > x„. Ciągi te nazywamy także rosnącymi w szerszym sensie.

Podobnie ustalamy pojęcie ciągu malejącego — w węższym lub szerszym sensie. Nazywamy tak ciąg, dla którego jest odpowiednio

x₁>x₂>...>x„>x„₊₁>...

lub

x₁>x₂^...>x„>x_n+i^...,

a więc z ń>n wynika (zależnie od definicji) x„< < x„ lub tylko x„. <x„.

Ciągi wszystkich tych rodzajów nazywamy ogólnie ciągami monofonicznymi. Zwykle mówimy o ciągu, że monofonicznie rośnie lub monofonicznie maleje.

Dla ciągów monotonicznych jest słuszne następujące ważne twierdzenie: Twierdzenie. Niech dany będzie monofonicznie rosnący ciąg {x„}. Jeżeli ciąg ten jest ograniczony z góry:

x„<M (M = const; n = l ,2, 3, ...),

to ma granicę skończoną, a w przeciwnym przypadku dąży do + co.

Podobnie zawsze ma granicę monofonicznie malejący ciąg {x„}. Granica ta jest skończona, jeżeli ciąg jest ograniczony z dołu:

x„^m (m = const; n = l,2,3,...),

a w przeciwnym przypadku granicą jest —co.