0073

74

I. Teoria granic

się tylko skończenie wiele wyrazów ciągu, co nie jest możliwe. Niech więc {ai, b,> będzie tą połową przedziału, która zawiera nieskończenie wiele liczb x„ (a przy obydwu połowach mających tę własność — dowolną z nich).

Analogicznie z przedziału (a_ly b_t) wydzielamy jego połowę (a₂, b₂) zawierającą nieskończenie wiele liczb x_n itd. Kontynuując to postępowanie w nieskończoność, w k-tym kroku wydzielamy przedział (a_k, b_k), również zawierający nieskończenie wiele liczb x„.

Każdy z utworzonych przedziałów (zaczynając od drugiego) zawiera się w poprzednim, stanowiąc jego połowę. Ponadto długość k-tego przedziału, równa

, _b-a

^bk~^ak--Tt^- >

dąży do zera wraz ze wzrostem k. Stosując znowu lemat o przedziałach zstępujących [38], wnioskujemy, że a_k i b_k dążą do wspólnej granicy c.

Teraz podciąg {x„_k} konstruujemy indukcyjnie — następująco: Jako x_ni bierzemy dowolny (np. pierwszy) z wyrazów x„ naszego ciągu, zawarty w przedziale <a,, b,). Jako x„₂ bierzemy dowolny (np. pierwszy) z wyrazów x_n następujących po x_ni i zawartych w (a₂, b₂} itd. Ogólnie, jako x„_k obieramy dowolny (np. pierwszy) z wyrazów x„, następujących po poprzednio wydzielonych wyrazach x„_t, x„₂,..., Jt„_k_, i zawartych w (a_k, b_k~). Możliwość takiego wyboru przebiegającego kolejno, zawdzięczamy temu, że każdy z przedziałów <a*, b_ky zawiera nieskończenie wiele liczb x_n, tj. zawiera elementy x„ o dowolnie dużych wskaźnikach.

Dalej, ponieważ    .    ...    ...

^ak^^xn_k^b_k i lim a_k = lim b_k = c ,

więc w myśl twierdzenia 3° [28] również lim x„_k = c, cnd.

Metoda zastosowana przy dowodzie tego lematu, i polegająca na kolejnym dzieleniu na połowy rozważanych przedziałów, nosi nazwę metody Bolzano; będzie ona często użyteczna.

Lemat Bolzano-Weierstrassa znacznie upraszcza dowody wielu trudnych twierdzeń biorąc jakby na siebie, podstawową trudność dowodu. Dla przykładu, udowodnimy za jego pomocą kryterium zbieżności; mamy na myśli dostateczność występującego tam warunku, którego dowód w ustępie 39 był dość skomplikowany.

Niech więc założenie będzie spełnione i dla danego £>0 niech istnieje taki wskaźnik N, że przy n>N i n'>N mają miejsce nierówności (2) lub (3). Jeżeli ustalimy przy tym n', to z (3) widzimy, że ciąg {*„} jest w każdym bądź razie ograniczony, jego wartości dla n>N zawierają się pomiędzy liczbami x_n — e oraz *„.+£ i nietrudno krańce te powiększyć tak, żeby w otrzymanym przedziale zawierały się również pierwsze wyrazy:    , x₂, ■■■, x_N.

W takim razie, według właśnie udowodnionego twierdzenia można wybrać podciąg {jc„_k} zbieżny do skończonej granicy c:

limx„_k = c.

Pokażemy, że do tej granicy dąży cały ciąg x_n. Można wybrać k tak duże, żeby było