0110

111

§ 2. Granica funkcji

Zauważmy, że cos*-*l przy *-»0, co wynika np. z poprzedniego wyniku a), c)    lim (secx —tgJ:)=0 (oo —oo).

X -*in

Tutaj dogodniej jest przejść do zmiennej a = in—x; oczywiście a->0 przy    Mamy

1—cosa 1— cosa a

seca—tgx=coseca—ctga =--=-—— •- • a->0 .

sin a a sin a

57. Granica funkcji monofonicznej. Zagadnienie samego istnienia granicy funkcji

lim/(x)

x~*a

rozwiązać można szczególnie prosto dla funkcji szczególnego typu, stanowiących uogólnienie ciągów monotonicznych [34].

Niech funkcja f(x) będzie określona w pewnym obszarze £={x\. Funkcję tę nazywamy funkcją rosnącą (malejącą) (') w tym obszarze, jeżeli dla dowolnej pary należących do niej argumentów

zx >x wynika f(x')>f(x)    (/(*') </(*)).

Jeżeli

z x>x wynika tylko f(x')'^f(x)    (/(*')</fx)),

to funkcję nazywamy niemaleiącą (nierosnącą). Niekiedy jest dogodniej w tym przypadku nazwać funkcję funkcją rosnącą (malejącą) w szerszym sensie.

Funkcje wszystkich tych typów nazywamy funkcjami monotonicznymi. Dla funkcji monotonicznej zachodzi twierdzenie, w pełni analogiczne do twierdzenia o ciągu mono-tonicznym, udowodnionego w ustępie 34.

Twierdzenie. Niech funkcja f (x) monotonicznie rośnie, choćby w sensie szerszym, w obszarze 9C mającym punkt skupienia a większy od wszystkich x (skończony lub równy + oo). Jeżeli przy tym funkcja jest ograniczona z góry

f{x)€,M    (dla wszystkich x z X) ,

to przy x-+a funkcja ma skończoną granicę-, w przeciwnym przypadku dąży do +oo.

Dowód. Załóżmy z początku, że funkcja f(x) jest ograniczona z góry, tj. że jest ograniczony z góry zbiór wartości funkcji {/(x)}, odpowiadających zmianie x w obszarze 9C. Wówczas dla tego zbioru istnieje [11] skończony kres górny A. Udowodnimy, że liczba A jest szukaną granicą.

Przy danej dowolnie liczbie e>0, na podstawie własności kresu górnego, znajdziemy taki argument x’<a, że f(x')>A — e. Ze względu na monotoniczność funkcji dla x>x' jest także: f(x)>A—s. Ponieważ z drugiej strony jest zawsze f(x)^A<A + s, to dla wspomnianych argumentów x spełniona jest nierówność

\f(x)-A\<e.

(‘) Czasami, dla odróżnienia od wprowadzonej niżej funkcji rosnącej (malejącej) w szerszym sensie, funkcję tę nazywamy funkcją ściśle rosnącą (malejącą). (Przypisek redakcji wydania polskiego).