016

16

1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo

Przykład 1.2.8.

W celu zwiększenia niezawodności przyrządu, dubluje się go za pomocą n — 1 pracujących niezależnie takich samych przyrządów o niezawodności p każdy. Znaleźć niezawodność całego układu. Ile należy wziąć przyrządów, aby uzyskać niezawodność nie mniejszą niż 0.99?

Rozwiązanie.

Niech A, oznacza, że i-ty przyrząd jest sprawny, i = 1,2Pr (A,) = p. Niech A oznacza, że cały układ jest sprawny. Układ jest sprawny, jeżeli co najmniej jeden przyrząd jest sprawny, czyli A = (Jf_=] A₍. Ponieważ sprawność jednego przyrządu nie wpływa na sprawność innego, więc

PrCAj^Pr^ljA^l-Pr^UA^

n

= 1 -Pr(A₁nA₂n---nA„) = 1 -XJPr(A_£.) = 1 -(1 -p)ⁿ ,

1=1

gdzie Pr (A^) = 1 — p.

Należy wziąć takie n, aby Pr(A) ^ 0.99, czyli 1 — (1 — p)ⁿ > 0.99. Stąd n jest liczbą naturalną taką, że

lnO.Ol

Zadania

Zadanie 1.2.1.

Niech P, i P₂ będą prawdopodobieństwami określonymi na CT-algebrze S" podzbiorów zbioru £1. Udowodnić, że funkcja

P(A)=^l-P_l(A) + ^P₂{A)

spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa.

Zadanie 1.2.2.

Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa razy z rzędu na tę samą stronę (patrz zadanie 1.1.6). Każdemu z możliwych wyników składającemu się z n rzutów przypisujemy jednakowe prawdopodobieństwo 2~ⁿ. Znaleźć prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:

a)    doświadczenie zakończy się nie później niż przy szóstym rzucie,

b)    potrzebna będzie parzysta liczba rzutów.