021

21

1.3. Prawdopodobieństwo warunkowe

Przyjąć założenie, że prawdopodobieństwa urodzenia chłopca i dziewczynki są takie same.

Rozwiązanie.

Niech c oznacza chłopca, a d - dziewczynkę. Wtedy Cl = {(d,d),(d,c),(c,d),(c,c)}, gdzie pierwszy element pary oznacza młodsze dziecko, a drugi starsze. Zdarzenia elementarne są równoprawdopodobne.

a) Niech A będzie zdarzeniem polegającym na wylosowaniu rodziny posiadającej córkę i syna, a B- zdarzeniem polegającym na wylosowaniu rodziny, w którym młodsze dziecko jest dziewczynką. Szukamy prawdopodobieństwa Pr(A|B). Ponieważ A = {(c,d), {d,<j}, B = {(d,d),(d,c)}, Af)B = {(r/,c)}, więc

Pr (A|B)

Pr (Ans) Pr(S)

1/4 _ 1

2/4 “ 2'

b) Niech C będzie zdarzeniem polegającym na wylosowaniu rodziny posiadającej co najmniej jedną dziewczynkę, czyli C = {(d,d), (d,c), (c,d)}. Szukane prawdopodobieństwo wynosi

Pr(A|C) =

Pr(AnC)

Pr(C)

2/4

3/4

2

3 '

Przykład 1.3.3.

Dozorca ma n kluczy, z których dokładnie jeden pasuje do zamka. Klucze są wybierane i próbowane losowo bez powtórzeń. To postępowanie może wymagać 1,2,...,n prób. Pokazać, że każdy z tych wyników ma to samo prawdopodobieństwo 1 /n.

Rozwiązanie.

Niech A₍ oznacza zdarzenie, że /-ta próba zakończyła się sukcesem. Niech zdarzenie B_; polega na dopasowaniu klucza w i próbach, tzn. na tym, że otwarcie zamka wymaga i prób. Zdarzenia S₍ wyrażają się przez zdarzenia A₍ w następujący sposób:

B_i=A_] nAjn — nA,.,, nA_;.

Wtedy

Pr(S,)=Pr(A₁) = i,

Pr(B₂) =Pr(A, RA₂) = Pr(A,)Pr(A₂lAj) =

Pr(S_;) =Pr(A,)Pr(A₂|A₁)Pr(A₃|A₁ OA₂).. .Pr(A₍|A₁ HA₂ n • • • nA_;_,) n—łn —2n — 3 n— (/— 1)    1    1

n n— ln — 2 n — (« — 2)n — (/— 1) n