0282

283

§ 4. Obliczanie nieoznaczoności

granicę pierwszego czynnika można znaleźć w sposób elementarny

*cos*+sin;

lim

n-0

sin* / sin*\

-=hm I cos*H--1=2 ,

X )

a do drugiego czynnika zastosujemy twierdzenie 3:

—*sin*

* cos x—sin* lim-—r-=lim

lim

-1

x-o *sin^{1 2}* »-osin²*+2* sin*cos* *-osin*

+2 cos*

Tak więc szukana granica równa się —

W przypadku wyrażeń nieoznaczonych postaci 1”, 0°, oo° wygodnie jest wyrażenia te najpierw zlogarytmować.

Niech y = [/(x)]*^(jc); wtedy \ny=g(x) ln/(*). Granica lny jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci O oo, które zbadaliśmy już. Załóżmy, że za pomocą jednego z podanych wyżej chwytów udaje się znaleźć lim lny równy liczbie skończonej k, +oo lub — oo. Wtedy

x-*a

limy będzie równy odpowiednio +oo lub 0.

Przvkład 11. Niech

1/(1 - cos X)

Trzeba znaleźć limy przy *-+0 (wyrażenie nieoznaczone typu 1®).

Jeśli przyjąć, że *>0 (można ograniczyć się do tego założenia, gdyż y jest funkcją parzystą), to

In sin*—ln*

lny =--•

1 —cos*

Stosując twierdzenie 3 i korzystając z wyniku otrzymanego w poprzednim przykładzie, otrzymujemy

cos* 1

sin* * *cos* —sin*

lim In y = Iim-:-- lim---;---

x-o *-o sin* x-*o *sin *

’ 1

--»

3

skąd

1

lim y—e~

Jt-* o

Przykład 12. y=(żjc —arc tg *)^1/ln *

Przy *-► + oo wyrażenie to jest nieoznaczonością typu 0°. Mamy

- 1/3

lny =

In (j jt—arc tg*)

In*

(!)■

Na mocy reguły de L’Hospitala

1

i-*²

\n—arctg* 1+*²

lim iny= lim -- lim

K— + 00    X + 00    1

1+*'

- + ® arctg * —-n *-

.. (1+**)* 1-*^J lim -= lim ——\ = — 1

1    ,~ + ool+*

x

i+*

1

2

a więc lim y ——■ • *-► + oo e