0276

277

§ 4. Obliczanie nieoznaczoności

przy czym g'(x)^0, wreszcie 4) istnieje granica (skończona lub nieskończona)

v /'W r

x-*a Q C^)

Wtedy również

hm — = K.

i g(x)

Dowód. Uzupełnimy określenie funkcji f(x) i g(x) przyjmując, że w punkcie x=a są one równe zeru, f(a)=g(a)=0 (^ł). Wtedy funkcje te będą ciągłe w całym przedziale domkniętym {a, by, ich wartości w punkcie a pokrywają się bowiem z granicami dla x->a (wskutek 2)), w pozostałych zaś punktach ciągłość wynika z istnienia pochodnych skończonych (patrz 3)). Stosując twierdzenie Cauchy’ego [114] otrzymujemy

/(*)_/(*) ~/(a) ₌fW

g{x) g(x) — g(a) g'(c)’

gdzie a<c<x. Ta okoliczność, że g(x)ź0, tzn. g(x)^g(a) wynika z założenia, że g'(x)^0, jak to stwierdziliśmy przy wyprowadzaniu wzoru Cauchy’ego.

Jeśli x~*a, to oczywiście także i c->a, a więc na mocy 4)

lim

/(*)

g(x)

= lim

c~*a

/'Co

g'(c)

= K,

cbdo.

W ten sposób udowodnione twierdzenie sprowadza znajdowanie granicy stosunku funkcji do znajdowania granicy stosunku pochodnych, jeśli granica ta istnieje. Bywa też często tak, że obliczanie granicy stosunku pochodnych jest łatwiejsze i może być wykonane elementarnie.

Przykład 4. Znaleźć granicę

lim

tg*—x

x — sin*

Stosunek pochodnych upraszczamy kolejno

1

cos²*    1    1—cos²* 1+cos*

1—cos* cos²* 1—cos* cos²*

gdzie x->0, stosunek ten dąży do 2. Zgodnie z twierdzeniem będzie to szukana granica.

Twierdzenia 1 nie można w tym wypadku zastosować, gdyż dla x=0 pochodne licznika i mianownika są równe zeru. Co dotyczy twierdzenia 2, to chociaż z jego pomocą zadanie można by rozwiązać, trzeba by jednak w tym celu (o czym łatwo się przekonać) obliczyć trzy kolejne pochodne danych funkcji.

(‘) Mogliśmy oczywiście od razu założyć, że funkcje te są określone i ciągłe dla x = a; ale w zastosowaniach bywa niekiedy wygodniejsze takie sformułowanie warunków twierdzenia, jakie podaliśmy w tekście (patrz na przykład twierdzenie 3*).