Picture0

Hriinic |u (».-i

Jeżeli istnieje (skończona lub nic) granica lim f/(.v)</.v, to nazywamy ją

M -++<*> J a

culkii niewłaściwą / funkcji / w przedziale nieskończonym (a, +oo) i zapisujemy:

♦«»    M

[ f(x)dx = lim [ f(x)dx.    (6.29)

^J    AY->+» ^J

u    a

+00

leżeli powyższa granica jest skończona, to całkę niewłaściwą J/(x)dx nazy-

a

wanty zbieżną, natomiast gdy granica jest nieskończona — rozbieżną. Analogicznie:

b    b

(6.30)

ff(x)dx = lim f/(x)dx,

u

jeśli / jest określona dla.v < b i całkowalna w dowolnym przedziale (M, b), gdzie M - /».

/ kolei:

tm    c    +co

(6.31)

J /'(.v)(/v= J/(x)c/.v+ J f(x)dx,

gdzie / jest określona dla x e (-qo,+qo) i c jest dowolnym punktem z tego prze-

C    +cO

działu oraz obie całki j'/(jc)c£c i J f(x)dx są zbieżne.

Przykład 6.18

Obliczyć pole pomiędzy krzywymi y = e~^2x, y = O, x = O (rys. 6.8).

Rys. 6.8. Ilustracja graficzna obliczanego pola

w

	i	M /
lim	-e '	lim
A/ M«/*	2	„ ^w-^>+*V

■e ^w i

•f«o    M

I' \c~^:'dx= lim IV '</v lim

J    M —►'fop J    M

Kryterium całkowe zbieżności szeregów:

Jeżeli funkcja / jest dodatnia i malejąca w przedziale (</, • ' ). to s/cieg

.    Ą-tn

V/(n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka J /(»)<A

Przykład 6.19

+oo    j

“«(ln n)²

Zbadać zbieżność szeregu ^

1

Funkcja /(*) = -

x(lnA-)²

jest dla x e (2,+co) dodatnia i malejąca

J

jc(In jc)²

- dx

dx

= lim [——— = lim

^M “^>+m j ^X( 1¹¹ X) "    ^M-*^+a>

-1 In x

M

— lim

W —> +co

-1

V In M In 2 ) In

7 dx    ...    « I

1’oniew'aż zbieżna jest całka -—, to zbieżny jest szereg

jc(ln jc)~    „ 2«(In //)

Zadania

+co |

21. Wykazać, że szereg harmoniczny rzędu a, ^—, jest zbieżny dla a    I

„=i «°

i rozbieżny dla a < 1.

22.    Zbadać zbieżność całki:

	+00 ; r (ix		r dx	+CO
a)	J T^5	cr	J ~ ’	C) J-
	i *		r,x -oo	1
	+00 | r 1		r dx	0
d)	Itt*’	e)	h- -co ^A	0 J -oo

ck

3

X

dx

(*-2)³ ■