0314

315

§ 1. Pojęcia podstawowe

3) Wiadomo, że ciągi {*„} i {y„} mają odpowiednio granice a i b. Pytamy o granice następujących wyrażeń:

*„±y„,    x„y„,    — ,    x".

y_n

W przypadku tak zwanych wyrażeń nieoznaczonych, które zapisujemy umownie symbolami

oo-oo, O- oo ,    —,    1”,    0°, oo°,

O oo

granica ta, jak wiemy [31, 78], może w ogóle nie istnieć, a jeśli istnieje, to może mieć przy tych samych a i b różne wartości, w zależności od szczególnego prawa zmienności ciągów- x_niy„.

Jeśli przypomnimy sobie definicję granicy funkcji dwóch zmiennych niezależnych w języku ciągów, to stanie się jasne, że wspomniane typy nieoznaczoności związane są z faktem nieistnienia następujących granic:

X    X

lim (x — y) ,    lim x • y , lim — lim — ,

x-+ + oo    *-*0    x-»o y x-+ ± cc y

y-* + oo    ± cc    y-*O    y-* ± co

lim x⁾’.

x~* + oo y-0

lim x^y ,    lim    ,

x~* 1    x^0

y-* ± oo    y-*0

4) Rozpatrzmy granicę

lim

xy

.«x^!+r

2 '

(Funkcja ta jest określona na całej płaszczyźnie z wyjątkiem właśnie punktu x=0, y = 0). Jeśli wziąć dwa ciągi częściowe punktów

Mii)} ‘ Mii)}

dążących oczywiście do punktu (O, 0), to okazuje się, że dla wszystkich k:

1

2’

a

/(A^)=/

2

7'

Wynika stąd, że wspomniana granica nie istnieje.

Proponujemy przekonać się w analogiczny sposób, że nie istnieje granica

2

,-0

5) Przeciwnie, istnieje granica

I- ^Xy

lim-a-    -

*—ox +y

=0.

2