035

35

2.2. Zmienne losowe dyskretne

c)    Podać rozkład zmiennej losowej Y oraz korzystając z niego obliczyć EY i D²Y. Porównać wyniki z punktem b).

d)    Obliczyć prawdopodobieństwa Pr(—1 < X ^ 2) oraz Pr(—3 < X ^ 2.5).

e)    Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X.

f)    Wyznaczyć medianę zmiennej losowej X i porównać z EX.

Rozwiązanie.

a)    Najpierw obliczamy dwa pierwsze momenty. Mamy

EX = (-2) • 0.1 + (-1) • 0.2 + 0 • 0.3 + 2 • 0.2 + 3 • 0.2 = 0.6,

EX² = (-2)² ■ 0.1 + (-1 )² • 0.2 + 0 • 0.3 + 2² • 0.2 + 3² • 0.2 = 3.2.

Ponieważ D²X = EX² - (EX)², więc D²X = 2.84.

b)    Ponieważ EP = E(X² — 1) = EX² — 1 = 2.2 oraz

EX⁴ = (—2)⁴ ■ 0.1 + (-1)⁴ ■ 0.2 + 0 • 0.3 + 2⁴ • 0.2 + 3⁴ • 0.2 = 20.8, więc D²P = D²X² = EX⁴ - (EX²)² = 10.56.

c)    Zmienna losowa Y przyjmuje wartości —1,0,3,8 z prawdopodobieństwami

Pr(P = -1) = Pr(X = 0) = 0.3,

Pr(y = 0) = Pr(X = -1) = 0.2,

Pr(y = 3) = Pr({X = -2} U {X = 2}) = 0.1 + 0.2 = 0.3, Pr(y = 8) = Pr(X = 3) = 0.2.

Zatem EP = 2.2 i D²P = 10.56 są takie same jak w punkcie b).

d) Mamy

Pr(— 1 < X 2) = Pr({X = 0} U {X = 2}) = 0.3 +0.2 = 0.5,

Pr(—3 < X ^ 2.5) = Pr({X = -2} U {X = -1} U {X = 0} U {X = 2}) = l-Pr(X = 3) = 1-0.2 = 0.8.

e) Dystrybuanta zmiennej losowej X wyraża się wzorem:

0	dla xe (—<»,—2],
0.1	dla x e (-2,-1],
0.3	dla x £ (—1,0],
0.6	dla x € (0,2],
0.8	dla x e (2,3],
1	dla x € (3,°°].

f) Mediana Me = ^_xj₂ = 0 bo Pr(X ^ 0) = 0.6 ^ 0.5 oraz Pr(X ^ 0) = 0.7 > 0.5. Zauważmy, że Me < EX, co jest spowodowane tym, że rozkład jest niesymetryczny.