DSCF6534

24

w całym przedziale (równomierne; stąd nazwa rozkładu). Rozkład skokowej zmiennej losowej oraz charakterystyczny schodkowy kształt dystrybuanty ukazuje rys. 2.3 na przykładzie wyników rzutu kostką do gry.

Rys. 2.3 Rozkład liczby punktów uzyskanych w rzucie kostką do gry (a) i dystrybuanta rozkładu (b)

Rezultaty dużej liczby pomiarów wygodnie jest przedstawiać w formie histogramu (por. rys. 1.1) wskazującego, ile razy otrzymano wynik z danego przedziału wartości - w przykładzie dotyczącym pomiaru ładunku elementarnego 55 wyników trafiło do przedziału [1,3; 1,4) (konstruując histogram z reguły wybiera się przedziały domknięte lewostronnie). Im większa jest liczba wykonanych pomiarów oraz im węższe są przedziały, tym wierniej histogram doświadczalny odtwarza rzeczywisty rozkład zmiennej losowej. Stosunek liczby wyników z i-tego przedziału do liczby wszystkich wyników n, zbliża się wówczas do wartości funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(^x)x=x,< gdzie x_t jet środkiem i-tego przedziału:

11

n— co    U

Liczba pomiarów ograniczona jest względami praktycznymi; nieosiągalne jest więc stadium populacji, czyli wszystkich możliwych w danym eksperymencie rezultatów. Zamiast o nieskończonej liczbie pomiarów, oraz szerokości przedziału dążącej do zera mówimy więc o dostatecznie dużej liczbie pomiarów i wystarczająco wąskim przedziale, przy czym oba terminy wymagają ukonkretnienia w określonych warunkach eksperymentalnych.

Powróćmy jeszcze raz do rys. 1.1 z poprzedniego rozdziału. Rozrzut wyników pomiarów wokół wartości q_e można interpretować jako przejaw

występowania w każdym pomiarze przypadkowego odchylenia od wartości rzeczywistej (błędu) dodatniego lub ujemnego, tj. zawyżającego bądź zaniżającego wynik względem q_e. Ponieważ wynik różni się od odchylenia jedynie stałym czynnikiem, obie wielkości są zmiennymi losowymi o identycznym kształcie rozkładu (choć różnych wartościach średnich). Rozkład odchyleń, a więc także rozkład wyników pomiarów ma w większości ważnych wypadków kształt zbliżony do dzwonopodobnej krzywej. Krzywa taka nazywa się krzywą Gaussa, albo rozkładem normalnym.

Nawet najbardziej staranne wykonywanie pomiarów nie pozwala określić rzeczywistej wartości badanej wielkości; wynik zawsze pozostaje obarczony niepewnością. Aby ocenić, na ile zdołaliśmy się zbliżyć do wartości rzeczywistej, należy przytoczyć nie tylko rezultat liczbowy, lecz także granice tej niepewności (por. wzór 1.2). Niepewnością będziemy nazywać nieokreśloność w naszej znajomości wartości rzeczywistej po zakończeniu całej procedury pomiarowej i obliczeniowej oraz po dokonaniu analizy statystycznej wyników. Znajomość rozkładu empirycznego przydaje się do oceny niepewności wówczas, gdy wykonano co najmniej kilka pomiarów. Jeśli dysponujemy wynikiem tylko jednego pomiaru (lub też wiele kolejnych pomiarów daje ten sam rezultat), wówczas oceniamy niepewność korzystając ze znajomości budowy przyrządów pomiarowych.

2.2 Parametry rozkładów

Średnia arytmetyczna z rezultatów pomiarów należy do najważniejszych pojęć w praktyce pomiarowej. Jeśli średnią wartość zmiennej losowej oceniamy nie na podstawie wyników pomiarów lecz obliczamy, opierając się na znajomości jej rozkładu, wówczas nazywamy ją wartością oczekiwaną albo wartością przeciętną. Jeśli g(x) jet funkcją zmiennej losowej X o rozkładzie /(*), wówczas wartość oczekiwaną funkcji g(x) daje związek:

lg(x)f{x)dx

%(*)] = ⁹- (2.4)

[f(x)dx

O

w którym symbol Cl oznacza całkowanie po całym obszarze zmienności. Mianownik w tym wyrażeniu jest równy jedności, jeśli gęstość f(x) jest rzeczywiście rozkładem, tj. została wcześniej unormowana. Zauważmy, że E[q(^x)] nie jest funkcją, lecz liczbą - wynikiem całkowania w ustalonych