38516

to mówimy, że zmienna losowa x jest typu ciągłego. Rozkład Px zmiennej losowej x nazywamy w tym przypadku nazywamy rozkładem ciągłym, f(x) - gęstością prawdopodobieństwa (gęstością zmiennej losowej x, lub jej rozkładu F*).

Własności gęstości:

1.    dla każdego xe R f(x)>0

2.    J/X.v><*r=l

Dla zmiennej losowej X typu ciągłego zachodzą następujące wzory:

»

P{a S x < b) = | f(.x)dx P(x = a) = 0

Tw. Jeżeli dystrybuanta F(x) zmiennej losowej x jest ciągła i różniczkowalna poza skończoną liczbą punktów to zmienna losowa x jest typu ciągłego, a jej gęstość f(x) określamy wzorem:

rik

Pęf, Wartość oczekiwana zmiennej losowej typu skokowego;

Niech x-zm. Losowa typu skokowego o rozkładzie KX=x,), i=l,2,... Wartością oczekiwaną tej zmiennej

losowej nazywamy liczbę określoną wzorem

EX=Łx,p., o ile ostatni szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej typu ciągłego:

Niech x- zm. Losowa typu ciągłego o gęstości f(x). Wartością oczekiwana tej zmiennej losowej nazywamy liczbę określoną wzorem

EX - J xl\x)dx

o ile ostatnia całka jest bezwzględnie zbieżna.

Wariancja.

Wariancją zmiennej losowej x nazywamy liczbę określoną wzorem:

D'X = BX - = [2ŁV]^:

D'X = B[(X - BX)²\

Odchylenie standardowe:

pierwiastek z wariancji - odchylenie standardowe:

Zmienna losowa standaryzowana:

Niech X - dowolna zmienna losowa o wartości oczekiwanej m=EX i wariancji o²; gdzie o>0. Zmienną losową Y określoną wzorem

nazywamy zmienną losową standaryzowaną.

Zmienna losowa dwuwymiarowa:

Niech (ft, P) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech X, Y będą dwiema zmiennymi losowymi określonymi na tym samym zbiorze Q, uporządkowaną parę (o=(X,Y)nazywamy dwuwymiarową zmienna losową.

Rozkład zmiennej losowej dwuwymiarowej;

Rozkładem dwuwymiarowej zmiennej losowej w - łącznym zmiennych losowych X i Y nazywamy rozkład prawdopodobieństwa P*y określony na płaszczyźnie R² wzorem:

Pxy(A)=P(o) ^ł(A))=P({o):(X(o)),Y(o)))e A» dla A c C.

Dystrybuanta:

Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej X, Y ( łączną zmiennych losowych) nazywamy funkcję F(x,y) określoną wzorem: F(x,y) = P(X<x, Y<y).

Zmienna losowa typu ciągłego:

Jeżeli istnieje taka funkcja nieujemna f(x,y)> 0, że dla każdej pary (x,y) liczb rzeczywistych dystrybuanta

F(x.y)= j J/(u.v)dtafr_f gdzie F(x,y) jest dystrybuantą zmiennej losowej (X,Y), to mówimy, że

zmienna ta jest typu ciągłego.

■j"yy_i Prawo wielkich liczb Bernoulliego:

Niech Y_n, n=l,2,3... będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym danym wzorem: nr.-k)-    k=0,l,2,...,n; 0<q<l; p+q =1