sciaga z proby

Zmienna losowa Ciągła - Zmienna losowa jest typu ciągłego, jeżeli jej dystrybuanta F(x) jest funkcja ciągłą i przeliczana jest liczba argumentów, dla których nic jest ona rozniczkowalna. Binarna Jest to zmienna losowa która może przyjmować tylko dwie wartości

Dyskretna Zmienna losowa jest typu dyskretnego, jeżeli jej dystrybuauta jest typu schodkowego.

Warunki normalizacyjny:

Ciągła

x)dx = 1

'eh

ZK^=^)=i

n=i

Gęstość pra />(*)=■

]p(>

-co

Dyskretnych

N

C^-Slość prawdopodobieństwa:

> dF{x)

dx

Ciągłych:

Ąz)= \p(x)dx

-co

Dyskretnych

p(x)£p(x£=•*.)

n= 1

Dystrybuanta:

Ciągłych:

-Gęstość prawdopodobieństwa p(x) następne dla poszczególnych granic dla danej funkcji Dyskretnych -rozkład brzegowy

P{)L^x_t)=f_jP{x = x_k,Y_=y_l)

Np.:    _ | ^ _ suma wszystkich wartości znajdujące się

w kolumnie X~1 Rozkład łączny

P(x = x_l,Ł=Y_l)='£p(X = x_t,Y = y_l)

l I

Warunek normalizacyjny:

Z Z^fCi=^>i=>'_j)=i

Jk=l /= 1

Gęstość rozkładu brzegowego:

p* = jp_v(*,y)dy

Py = \p_v{x,y)dx

—co

Wartość średnia:

Ciągłych:

+oo

E X - | xp _X(x)dx

Dyskretnych:

X    (Suma z rozkładu brzegowego)

EX = '£x_kP(X = x_i)

k=I

Średnie warunkowe

EY = f_jx_tP{x = x_t\Y = y_l)

W    k= 1

np.:

_v praw z lab

l.]_ ~ war _ Y ■ -—

l*5r. x    rozk _ brzeg

W ariancja zmiennej losowej

W(X)=E{X_-Exy

Odchylenie standardowe

cr = slE(X-EX)²

Czyli suma (wartości X Średnia) *2 razy rozkład brzcfgowy danego prawdopodobieństwa

Współczynnik kowariancji

Współczynnik Kowariancji zmiennych losowych jeżeli są lo zmienno statycznie niezależne to jest on równy 0. Dowod: jeżeli zmienne X*i X* są niezależne to jest on równy 0. Dowod: jeżeli zmienne X*i Xj są niezależne to

E( Y ^Ł X °"^(£ .V ^kXK X **

EG&cX₀.(EX^XE^)

K * /:fe - ex Xl - /--!)] = £(V I) - (E.vX/-.T)

Jeżeli i Y są niezależne lo

e(xy)=(I-:xXEY) “““    ⁰

Współczynnik korelacji:

Pxy =

IaJ^I

<rUO<r(D

Operacja standaryzowania: 1

x-VL

y_X~EX ~ V(X) cr(X)^: EY = 0,

W(Y)=1

Macierz, kowariancji:

jest zwiazana z liniowa transformacja zmiennej wielowymiarowej d„ = «I(/?X - EK/EY, - Et)j

Macierz symetryczna, a ^    ^ to ^    ,

On O22 a=^

Jeżeli >^iY są powiązane funkcyjnie to podąży doi