0397

398

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

przeto z twierdzenia BoIzano-Cauchy’ego [80] wynika, że dla pewnej wartości y=y* zawartej między y₀—A' a y₀+zf' funkcja ta musi być równa zeru:

F(x*,y*) = 0.

Ponadto z założenia 3) wynika, że dla y>y* jest F(x*,y)>0, a dla y <y* jestF(x*,y)<0. Tym samym y* jest jedyną wartością y w przedziale (y₀—A’, y₀+d'), która wraz z x=x* spełnia równanie (1). Na każdym pionowym odcinku A*B* istnieje tylko jeden punkt M*(x*, y*), dla którego lewa strona tego równania jest równa zeru.

Wykazaliśmy w ten sposób, że w otoczeniu

(x₀-6₀, x₀+d₀; y₀-d', y₀+^')

punktu (x₀, y₀) równanie (1) określa rzeczywiście y jako jednoznaczną funkcję y=f(x) zmiennej x.

Jednocześnie przeprowadzone rozumowanie pokazuje, że na mocy założenia 2) jest f(x₀)=y₀. Mianowicie z tego, że F(jc₀, y_o)=0 widać, że y₀ jest tą jedyną wartością y w przedziale (y₀—A', y₀+Aj, która wraz z x=x₀ spełnia równanie (1).

Pozostaje jeszcze do udowodnienia tylko ciągłość funkcji y=f(x) w przedziale (x₀—ó₀, x₀+S₀). Ciągłość w punkcie x=x₀ otrzymujemy bezpośrednio z przeprowadzonego rozumowania stosując je do dowolnie małego prostokąta o środku w punkcie M₀(x₀, y₀). Zastępując liczbę A' przez dowolną liczbę e< A', znajdujemy jak poprzednio taką wartość ó<ó₀, żeby dla dowolnego x z przedziału (x₀—ó, x₀+S) odpowiadająca mu wartość y (jedyna, która wraz z jc spełnia równanie (1)) zawarta była między y₀—£ a y₀+£. Tym samym dla | jc—jc₀ [ < <5 jest

|/W-y₀| = |/W-/(^o)|<e >

co dowodzi ciągłości funkcji f(x) w punkcie x=x₀.

Dowód dla dowolnego x—x* jest analogiczny do dowodu dla x=x₀. Punkt M*(x*, y*), gdzie y*=f (x*), spełnia bowiem te same warunki, co punkt M₀(x₀, y₀), gdyż F(x*, y*)=0. Rozumując jak wyżej, dochodzimy do wniosku, że w otoczeniu punktu M*(x*, y*) równanie (1) określa zmienną y jako jednoznaczną funkcję zmiennej x, ciągłą w punkcie x=x*, ale właśnie wobec jednoznaczności funkcja ta musi się pokrywać zf{x) i tym samym wykazana jest ciągłość funkcji f(x) dla x=x*.

Dowiedliśmy twierdzenia o istnieniu funkcji uwikłanej, nie zajmując się zagadnieniem obliczania jej wartości czy też analitycznego jej przedstawienia; zajmiemy się tym w rozdziale xn.

Udowodnione twierdzenie jest oczywiście uogólnieniem twierdzenia podanego w ustępie 83.

207. Różniczkowalność funkcji Hwikłanej. Wzmocnimy teraz założenia dotyczące funkcji F(x, y), dzięki czemu będziemy mogli udowodnić również istnienie pochodnej funkcji

y =/(*)■