042

42

2. Zmienne losowe

2.2.10.    Uogólnić zadanie 2.2.9 na przypadek n niezależnych zmiennych losowych.

2.2.11.    Niech zmienna losowa X typu ciągłego ma moment rzędu n oraz gęstość f symetryczną względem jc₀, tzn. spełnia równość f{x₀ + x) — /(jc₀ — jc). Pokazać, że EX = Me oraz że wszystkie momenty centralne rzędu nieparzystego są równe zeru, tzn. c_2k_ j = 0 dla 2k — 1 ^ n.

2.3. Rozkłady dyskretne

2.3.1. Rozkład dwupunktowy i dwumianowy

Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, gdy z prawdopodobieństwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. jeśli Pr(X =x_{) — p i Pr(X — x₂) — q, to p + q = 1. Łatwo policzyć momenty: EX = x_xp -\- x₂q, co w przypadku p — q= 1/2 daje m = (jcj + jc₂)/2, czyli średnią arytmetyczną. Moment zwykły rzędu k wynosi m_k = Ąp-\-)Ą<q. Stąd otrzymujemy, że D²X = (x₂ —x_{)²pq.

Szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego jest rozkład zero-jedyn-kowy, rozważany już w punkcie 2.2.2. Zajmiemy się tym przypadkiem dokładniej, bo mimo swej prostoty, będzie on podstawą wielu dalszych rozważań.

Rozkład zero- Niech X₍-, gdzie i= 1,2    będzie ciągiem niezależnych zmiennych lo-

jedynkowy sowych o tym samym rozkładzie zero-jedynkowym, Pr(X- = 1) — p, Pr(X_i =

0) = q — 1 — p. Oznaczmy przez X sumę tych n zmiennych losowych:

X =X₁+X₂H-----bX_rt.    (2.3.1)

Z twierdzeń 2.2.2 i 2.2.5 otrzymujemy równości: EX — np i D²X = npq_y skąd też o* — <5_X = y/npq.

Zbadajmy rozkład zmiennej losowej X, to znaczy obliczmy prawdopodobieństwa Pr(X ~ k) = p_k. Przede wszystkim zauważmy, że k może zmieniać się tylko od 0 do n. Ponieważ zdarzenie {co : X(co) = k} zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy na dokładnie k pozycjach w sumie (2.3.1) pojawi się jedynka, to prawdopodobieństwo takiego układu wynosi p^kqⁿ~^k, a możliwych takich

Rozkład    układów k jedynek w ciągu rc-elementowym jest (”). Stąd

dwumianowy

Pr(X = jfc) = r) p^kq”-^k,    (2.3.2)

gdzie 0 ^ k < n.

Wzór (2.3.2) określa rozkład, znany jako rozkład dwumianowy (głównie w literaturze anglosaskiej) lub jako rozkład Bernoulliego⁷. Zmienną losową X

⁷Jakub Bernoulli (1654 - 1705), matematyk szwajcarski, jeden z licznej rodziny Bernoul-lich, autor Ars conjectandi, pierwszego dzieła poświęconego rachunkowi prawdopodobieństwa.