18786

ZADANIA NA ZAJĘCIA - FIR

Zad.l. Dystrybuanta zmiennej losowej Y dana jest wzorem: 0 dla yź-1

F(y) =

i dla -\<yś2 \ dla 2 < y <. 3 | dla 3 < y ź 6

1 dla y > 6

a)    Obliczyć: P(Y = 3), P(2źY< 6), P(-1 < Y £ 3).

b)    Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y i narysować jej wykres.

c)    Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję (VarX.V(X), D^:X, er²).

Zad. 2 Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej U = 2X + 3Y, jeżeli zmienne X, Y są niezależne oraz £(*)=-3; £(y)=4; D²(X)= 4; D²(Y)= 5. OI)P. D²U=61

Zad.3 Dana jest ftmkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

*1	-3	-1	3	5
Pi	0,1	0,2	0,5	0,2

a)    Wyznaczyć funkcje prawdopodobieństwa zmiennej U takiej że: U = 2X + 3,U=-X + \,U = X²,

4

b)    Wyznaczyć dla zmiennej losowej X: wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

Zad.4 Prawdopodobieństwo wyprodukowania sztuki wadliwej wynosi p=0,02. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w partii towaru liczącej 300 sztuk znajdzie się co najwyżej 2 sztuki wadliwe.

Zad.5 Oszacowano, że 3% samochodów w Polsce ma zainstalowane katalizatory W pewnym dniu stacja benzynowa obsłużyła 200 samochodów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

a)    3 samochody miały katalizator,

b)    więcej niż 3 samochody miały katalizator.

Zad.6 Zmienna losowa X ma rozkład N(2,3). Oblicz P(|X- ll<3).

c

Zad.7 Zmienna losowa ma rozkład Cauchy’ego o gęstości: /(a) = -—-y. Wyznacz c oraz EX.

Zad.8 W paitii 10 detali jest 8 standardowych. Losowo wybrano dwa detale Znajdź rozkład liczby standardowych detali. ODP. 1/45; 16/45 ;28/45

Zad.9 Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennych losowych U=X+2Y oraz V=X-EX, gdy EX=3, EY=-2.

Zad.10 Dane są wartości zmiennej losowej dyskretnej: a, = -1,a₂ = 0,a₃ = 1 oraz EX=0.1 i EX²=0.9. Podaj rozkład tej zmiennej ODP. 0,4;0,1;0,5

Zad.l 1 Znaleźć wariancję zmiennej losowej X - liczby zajścia zdarzenia A w dwóch niezależnych próbach, jeśli prawdopodobieństwo zajścia tych zdarzeń jest jednakowe i EX=1,2. ODP. 0,48

Zad.l2 Dana funkcja gęstości: /(x) = \    °] ^{gdy X<}° Wyznacz c, EX. D²X. ODP.c=2,EX=

[cxe , gdy x>0.

7t°*⁵/2,V(X)=(4- ;r)/4.

4c

Zad.13 Dana ftmkcja gęstości: /(a) =-— Wyznacz c. ODP. C=l/2^

e +e

Zad. 14 Udowodnić nierówność:

gdzie x,y to dowolne dwie i jedyne możliwości

wartości zmiennej losowej X.