87425

O Znaleźć, w ogólnym przypadku, związek pomiędzy dystrybuantą F.\ zmiennej losowej X a dystrybuantą F_y zmiennej losowej Y=X²;

g)    Mając konkretną postać dystrybuanty F.\, znaleźć dystrybuantę Fy zmiennej losowej Y=X²;

h)    Przez różniczkowanie dystrybuanty znalezionej w poprzednim punkcie, znaleźć gęstość zmiennej losowej Y;

i)    Zakładając, że zmienna X jest typu ciągłego, różniczkując związek znaleziony w punkcie g), otrzymać ogólnie związek pomiędzy gęstością fx zmiennej losowej X a gęstością fy zmiennej losowej Y=X²;

j)    Zastosować to w konkretnym przypadku, gdy gęstość zmiennej losowej X jest taka jak dana na początku zadania; porównać wyniki otrzymane w tym punkcie z wynikiem otrzymanym w punkcie h);

k)    Policzyć dwoma sposobami E(X²):

ka)    na podstawie wzoru

E(g( X )) = Jg(x) f (x)dx, w szczególności np. E(X²) = f x~ f (x)dx;

kb)    (nie dotyczy) korzystając ze znalezionej gęstości zmiennej Y=X².

2.    Dla jakich wartości parametrów a, b funkcja F(x)=0 dla x<-c; F(x)=a+b arc sin (x/c) dla -c<x<c; F(x)=l dla x>c jest

a)    dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X;

b)    dystiybuantą pewnej zmiennej losowej X typu ciągłego; w tym przypadku znaleźć gęstość zm los. X;

c)    dystiybuantą pewnej zmiennej losowej X typu skokowego.

3.    Dystiybuantą zmiennej losowej X ma postać:

F(x) = a dla x<-2; F(x) = bx+c dla -2<x<2; F(x) = d dla x>2. Wiedząc, że X jest typu ciągłego, znaleźć

a)    parametry a, b, c, d; b) gęstość zmiennej losowej X; c) wartość oczekiwaną tej zmiennej; d) E(X²); e) dystiybuantę zmiennej losowej X² (wariant: Z=4-X²);

0 gęstość zmiennej losowej Y=X² (wariant: Z=4-X²), w miarę możliwości dwoma sposobami.

4.    Dana jest funkcja f(x)=C(x-2)(4-x) dla x pomiędzy pierwiastkami tego trójmianu kwadratowego, f(x)=0 dla pozostałych X. a) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f była gęstością pewnej zmiennej losowej X;

b)    Obliczyć EX i D²X. Odp. C=3/4, EX=3 (zwródć uwagę na symetrię);

⁴ 3

D²X = J—(x - 3)²(x - 2)(4 - x)dx = 1/5 lub D²X=E(X²HEX)², gdzie ⁴ 3

E(X-) = f-x²(x — 2)(4 - x)dx = 46/5, zatem D²X=46/5-9=46/5^ł5/5=l/5 .

i 4

5.    Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (równomierny, prostokątny) na przedziale (0; 1). Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y=4X³ (w miarę możliwości dwoma sposobami).

Odp.: EY=1; 0^9/7.

6.    Zmienna losowa X ma dystrybuantę F_x [i ewentualnie gęstość f_x (=F_X'), w przypadku, gdy jest to zmienna losowa typu ciągłego]. Znaleźć dystrybuantę zmiennej Y=l/X [i ewentualnie gęstość Y w przypadku gdy X, a co za tym idzie - Y, jest typu ciągłego], przy czym w ogólnym przypadku zakładamy, że P(X=0)=0 - dzięki czemu 1/X ma (z prawdopodobieństwem 1) sens; w przypadku zmiennej losowej typu ciągłego to założenie jest spełnione automatycznie.

7.    Dana jest funkcja: f(x)=0 dla |x|<l; f(x)=Qx⁴dla |x|£l (wariant: f(x)=0 dla x<l; f(x)=C/x⁴dla x>l).

a)    Dobrać stałą C tak, aby funkcja f była gęstością pewnej zmiennej losowej X;

b)    Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X;

c)    Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X;

d)    Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y=X² (wariant: Y=4-X²).

8.    Niech Fi i F.« będą dwiema dystrybuantami zmiennych losowych Xi i Xa odpowiednio. Jeżeli a,b>0 i a+b=l wykazać, że funkcja F(x)=aFi(x)+bF.>(x) ma wszystkie własności dystrybuanty.

2