042

42

2. Zmienne losowe

Rozwiązanie.

a) Ponieważ

ln3

J f(x)dx= 1

oraz j e^xdx = 2, o

więc a = 1/2.

b) Całkując gęstość f(x) zmiennej losowej X otrzymujemy dystrybuantę

/

0

< (e*-l)/2 1

dla x ^ 0, dla 0 < x ^ ln 3, dla x > ln3.

c) Mamy

ln3

m_x= EX = jxt^xdx= | ln3 — 1 =0.647918. o

d) Ponieważ ln3

m₂ = EX²

Ix²e^xdx = ^ ln²3 - 31n3 + 2 = 0.514587, o

więc

,    ,    31n²3

D²X = m,-m², = 1 --— = 0.094788.

^z    4

e)    Dystrybuanta F(x) jest ciągła, zatem rozwiązując równanie

e^ 1

2~^P’

otrzymamy e^ = 2p+ 1, a stąd ^ = ln(2p +1).

f)    Do obliczenia gęstości zmiennej losowej Y potrzebna jest najpierw jej dystrybuanta. Ponieważ Pr(P > 0) = 1, więc G(x) = Pr(K < x) = 0 dla x ^ 0. Niech x > 0. Wówczas

G{x) = Pr(Y <x)= Pr(e^x <x)= ?r(X < In*) = F(ln(*)).

Uwzględniając postać dystrybuanty F(x) mamy

0    dla x ^    1,

G(x) = <

(x—1)/2 dlalc.r<3,

1    dla jc >    3,