437 2

437

11.2. Cyfry i liczby losowe

powód. Ponieważ F(x) jest funkcją ciągłą nienialejącą, więc

PlXśx] = PtF{X)śF{x)] = P[RśF(x)].

_& to ostatnie wyrażenie jest równe F[x), gdyż z definicji rozkładu prostokątnego jest p[Rśr)=‘^r dla każdej liczby re (0, 1], Stąd P[.lT<jrJ=F(x), co (z definicji) oznacza, że X ma dystrybuantę F(x). W praktyce często tablicuje się Xdla ciągu wartości R i stosuje się interpolację liniową miedzy nimi.

Uwaga. Można też rozwiązywać równanie

F(X) = l-R.

Przysi ad 11.2.4. Uczhy lożowe o ruzkhulzie wykładniczym są to liczby losowe c dys-g iffifruancic

F(x) = \-e'^ix    ""“*** ^oraekiwani> <“^l y)'

Reguła. Wziąć liczbę losową R o rozkładzie prostokątnym w [0. I ] i obliczyć

(11.2.4)    X=-X ' In/*.

Dowód. Wobec uwagi w przykładzie 11.2.3 można otrzymać X. rozwiązując równanie

\-e~^lx=\-R.

Stąd <T**= R, - kX~ In R, co daje (11.2.4).

:» Ciąg liczb losowych o rozkładzie wykładniczym przeciwny względem poprzedniego otrzymuje się z wzoru

(11.2.5)    ¹ ln(l-«).

Ważnym zastosowaniem liczb losowych o rozkładzie wykładniczym jest generowanie tzw procesów Poissona. Odgrywają one często ważną rolę v układach telekomunikacyjnych • innych systemach obsługi. Proces Poissona (z parametrem 2)jest ciągiem zdarzeń o takiej

własności, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w krótkim przedziale czasu Im YA\) jest równe    niezależnie cd historii tych zdarzeń przed chwilą t.

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia więcej niż raz w^r tym przedziale czasu jest równe o(At). W zastosowaniach tym zdarzeniem może być np. sygnał abonenta w centrali tełetonicznej. wejście klienta do sklepu itd Opisując procesy Poissona używa się często ^orraułowań takich jak „klienci przychodzą w losowych momentach, z częstością /. klientów ng minutę”.

, Din nas najważniejszą własnością procesu Poissona jest to. że odstępy czasu między ^f'°kjnymi zdarzeniami sq niezależnymi zmiennymi losowymi o dysirybuaneie (11.2.3). Dła-^le?° procesy Poissona można generować, używając liczb losowych o rozkładzie wykład-niczym.