0438

439

§ 4. Zamiana zmiennych

nując ze wzorem

, di² z , d² z d²z ₂

d z = —-<dx +2-^— dxdy + ^_rT dy dx dxdy oy

otrzymujemy

d²z Z² z d²z

~d7^=c’ B*b^=D’ ap"^==£’

itd.

Zadaniu zamiany zmiennych można tutaj także nadać sens geometryczny. Jeżeli zmienne x, y, z i /, u, v rozpatruje się jako współrzędne punktów M i P przestrzeni, to wówczas wzory na przekształcenie, np. w postaci (20), przyporządkowują każdemu punktowi M pewien punkt P, to znaczy określają pewne przekształcenie punktowe przestrzeni (lub jej części). Zależności między x, y i z odpowiada zależność między t, u i v, tak że każda powierzchnia SP przekształca się w pewną powierzchnię .

5z dz dv dv

Widzieliśmy, że wartości x, y, z, — i — określają jednoznacznie wartości t, u, v, — i — .

dx dy d1 Su

Przypominając sobie równanie płaszczyzny stycznej [180 (6)]:

3 z dz

Z-z=—-(X-x) + -—(Y-y), dx dy

łatwo jest stąd wywnioskować, że dwóm powierzchniom SP_X i SP₂ stycznym w punkcie M odpowiadają w rozpatrywanym przekształceniu dwie powierzchnie Ji i ^ styczne w punkcie P. Przekształcenie punktowe przestrzeni zachowuje zatem styczność (patrz niżej przykład 7)).

222. Przykłady. 1) Przejście do współrzędnych biegunowych. Niech z będzie funkcją z=f(M) punktu na płaszczyźnie. Zazwyczaj położenie punktu na płaszczyźnie określamy za pomocą współrzędnych prostokątnych x, y, tak że z jest funkcją zmiennych x i y. Często jednak okazuje się wygodniejsze określanie położenia punktu za pomocą współrzędnych biegunowych r, 0 i wówczas trzeba przejść do nowych zmiennych. Wykonamy to przejście różnymi metodami.

Metoda wprost. Zmiennymi niezależnymi są r, #. Wychodząc ze wzorów na przekształcenie

x — r cosO, y — rsia0

otrzymujemy wzorując się na równościach (10):

dz dz dz dz dz dz

— =cos 0—+sin# ——, —= — rsin 0---brcosO —

dr dx dy 3 0 dx dy

skąd

(25)

dz dz sin# dz 3z dz cos0 dz

— =cos0-----—, — =sin#-—|——

dx dr r dO dy dr r d0

Dalej