045

45

UL Rozkłady dyskretne

faybliżenie

jh średnich X

fwgroffi

Wykresy

Uwaga. Twierdzenie 2.3.1 daje dobre przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona, gdy n jest duże, p jest małe, a A średnie, tzn. gdy p < 0.1, A € [0.1,10] oraz n ^ 100. Wtedy zamiast (2.3.6) mamy wzór przybliżony

(2.3.7)

b(n,k, p) « p{k,X),

gdy X np. Symbol „w” oznacza „w przybliżeniu równy”.

Przykład. W n = 100 próbach Bernoulliego prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p = 0.98. Niech X będzie liczbą porażek. Prawdopodobieństwo porażki wynosi ą — 0.02. Szukamy prawdopodobieństwa, że poniesiemy co najwyżej jedną porażkę. Ponieważ A = ną = 2, więc można zastosować przybliżenie (2.3.7):

Pr(XsC l) = Pr(X = 0)+Pr(X= 1)

Gdyby n = 101, to również można przyjąć

A — 2 & nq — 10) • 0.02.

Kontrola Przykład. Prawdopodobieństwo przesłania jednego błędnego bitu wyno-parzystości si 2.5 * 10"⁹ niezależnie od pozostałych. Przesyłamy 10¹ bitów i na końcu dodajemy bit parzystości. Błędny ciąg odbierzemy jako prawdziwy, gdy przekłamaniu ulegnie parzysta liczba bitów. Prawdopodobieństwo odebrania błędnego ciągu jako prawdziwego, wynosi w przybliżeniu A²e^_;i/2, gdzie A — 0.25, gdyż prawdopodobieństwo przekłamania czterech bitów wynosi A⁴e"V24« 0.00013 i może być pominięte, tak jak i dalsze parzyste liczby przekłamań. Tak więc prawdopodobieństwo odebrania błędnego ciągu jako prawdziwego wynosi w przybliżeniu A²e~^A/2! = 2.5²e~°'²⁵/2 = 0.2565.

Na koniec obliczmy parametry w rozkładzie Poissona - wartość oczekiwaną i wariancję.

Twierdzenie 2.3.2.

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem A, to ten parametr jest średnią i wariancją, czyli EX — A i D²X = A.

Dowód. Korzystając z twierdzenia 2.3.1 można zauważyć, że przyjmując np ^ A dla n —> oo otrzymujemy

EX ~ lim np — A

n—voo

1

Simeon Denis Poisson (1781 - 1840), francuski mechanik, fizyk i matematyk.