0466

467

§ 2. Prosta styczna i płaszczyzna styczna

W związku ze styczną i normalną rozpatruje się jeszcze pewne odcinki, mianowicie odcinki TM i MN oraz ich rzuty TP i PN na oś x (rys. 131). Odcinki TP i PN nazywają się odpowiednio podstyczną i podnormalną. Przyjmując T=0 w równaniach (1) i (2) łatwo obliczyć, że

y

(3)    podstyczną = TP = - , podnormalna = PN — yy .

.V

Teraz z trójkątów MPT i MPN można wyznaczyć długości odcinków stycznej i normalnej

(4)

f = TM = — V1 + y |, n = MN = \ys/\+yⁿ\.

I y \

równaniem uwikłanym

F(x,y) = 0.

W otoczeniu jej zwykłego punktu M(x, y) można ją przedstawić równaniem nieuwikłanym. Jeżeli w punkcie M jest np. F_y(x, y)^0, to można ją przedstawić równaniem y=f(x), gdzie funkcja / jest ciągła i ma ciągłą pochodną. Widać stąd, że w punkcie M istnieje styczna i jej równanie można napisać w postaci (1). W przypadku tym, jak wiemy [209, (15)], jest

K(x,y)

^} F'_y(x, y)

Podstawiając to wyrażenie do równania (1) otrzymujemy po prostych przekształceniach równanie stycznej symetryczne względem x i y:

(5)    F’_x(x, y)(X-x)+F’_y(x, y)(T-y)=0.

Ten sam wynik otrzymamy, gdy w punkcie M jest F_y=0, lecz F_x=£0. Jedynie w punkcie osobliwym równanie to traci sens i bez dodatkowego badania nic nie można powiedzieć o stycznej (patrz ustęp 236).

Równanie normalnej w rozpatrywanym przypadku ma postać

F_y(x, y)(X-x)-F’_x(x, y)(Y-y) = 0.

Rozpatrzmy na zakończenie krzywą daną równaniami parametrycznymi

x = <p(t),    y=v(t).

Widzieliśmy już [106, (11)], że jeśli ę>'(r)#0, to styczna istnieje i ma współczynnik kierunkowy

*r

(6)

30*