0480

481

§ 2. Prosta styczna i płaszczyzna styczna

Nie będziemy się zagłębiali w badanie tego przypadku, wymagającego bardziej złożonych rozważań i wprowadzenia pochodnych wyższych rzędów. Ograniczymy się do wyliczenia podstawowych przypadków, które mogą tu zajść.

a)    W pobliżu początku układu nie ma punktów krzywej z wyjątkiem samego początku układu — jest to punkt izolowany (tak jak w przypadku 1°).

Przykład.

x* + y²=0 lub (x*+y²) (x+y —1)=0.

Dla obu krzywych początek układu jest punktem izolowanym.

b)    W obu zakreskowanych kątach wierzchołkowych i dostatecznie blisko początku układu na każdej prostej pionowej leżą po dwa punkty krzywej; przez początek układu przechodzą dwie gałęzie krzywej mające w nim wspólną styczną — prostą (ę^). Jest to wówczas punkt podwójny (tak jak w przypadku 2°).

Przykład. x*—y²=0, tj. y= ±x². Krzywa składa się z dwu parabol stycznych w początku układu do osi x.

c) W jednym z zakreskowanych kątów wierzchołkowych nie ma zupełnie punktów krzywej, a w drugim są dwie gałęzie, które jak gdyby kończą się w początku układu mając w nim wspólną styczną — prostą {ę{). Mamy tu do czynienia z nowym rodzajem punktu osobliwego — z punktem zwrotu (lub ostrzem). W zależności od tego czy obie gałęzie leżą po tej samej stronie wspólnej stycznej, czy po różnych stronach — rozróżniamy punkty zwrotu pierwszego i drugiego rodzaju.

Przykładem krzywej mającej w początku układu punkt zwrotu pierwszego rodzaju jest krzywa

y²-x³ =0

{parabola semikubiczna, rys. 115 na str. 451).

Rzadszy przypadek punktu zwrotu drugiego rodzaju zilustrujemy przykładem krzywej

x⁵-(y-x²)² =0,

31 G. M. Fichtenholz