055

55

2.4. Rozkłady ciągłe

x) — a dla (/Zj ,«₂) stopni swobody oraz Pr(F > y) ~ 1 — cu dla (/<,«,) stopni swobody. Wtedy

a = Pr (F > x) = Pr (1 /F < 1 /x)

- 1 — Pr(l/F > 1/jc) = 1 — Pr(l /F>y),

stąd y— \/x.

Przykład. Dla 1 — a = 0.95 można odczytać z tablic dla a — 0.05 wartość F_{l a} taką, że Pr (f > F_l-C^ — 1 — a dla (22,9) stopni swobody. Mianowicie,

niech F' — \/F oraz niech F^fa ~ 1/Fj__a. Wtedy dla (9,22) stopni swobody odczytujemy F'_a — 2.3419, skąd F_x__a — 0.4270.

2.4.5. Zadania 2.4.1. Niech R będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1]. Ponadto niech F(x) będzie dystrybuantą ciągłą i różnowartościową na zbiorze {jc : 0 < F(jc) < 1}. Pokazać, że zmienna losowa X = F '(/?) ma dystrybuantę F(x).

2.4.2*\ W oparciu o zadanie 2.4.1 podać algorytm generowania wartości zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem A, mając do dyspozycji generator liczb losowych o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 1],

2.4.3.    Korzystając z tablic rozkładu normalnego obliczyć Pr(X <0.5), Pr(X > — 1), Pr(1.5 < X ^ 3) dla zmiennych losowych X ~ N( 1,1), X ~ N(— 3,0.5), X~N(1.5,1) i X~N(1.5,0.1).

2.4.4.    Korzystając z tablic rozkładu normalnego obliczyć kwanty 1 rzędu 1 - a dla a = 0.1 oraz dla a = 0.05, dla zmiennych losowych X ~ N(0,1) oraz X~N(-0.5,2).

2.4.5. Przez analogię do reguły 3-sigmowej sformułować regułę „n-sigmową”, jeśli termin „bardzo mały” chcemy rozumieć jako „mniejszy od 0.0001”. Jak

i

należałoby rozumieć termin „bardzo mały” chcąc mieć regułę „2-sigmową”?

2.4.6. Znaleźć odpowiednik reguły 3-sigmowej dla rozkładu o gęstości

2.4.7.    Pokazać, że w rozkładzie jednostajnym momenty centralne rzędu nieparzystego są równe zeru.

2.4.8.    Obliczyć momenty centralne parzystego rzędu dla zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na odcinku [a,b\.