059

59

15. Funkcje charakterystyczne

2.5.2. Rozkład gamma

Roddad

fpmma

Rozkład

Erlanga

Rozkład gamma definiujemy jako rozkład, którego funkcja charakterystyczna dana jest wzorem

(2.5.3)

gdzie b > 0 i p > 0.

Z porównania wzorów (2.5.2) i (2.5.3) wynika, że rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma dla b — X i p — 1. Ponadto z twierdzenia 2.5.2 wynika, że jeśli p jest liczbą naturalną n, to zmienna losowa o rozkładzie gamma z parametrami p — n, b — X jest sumą n zmiennych losowych niezależnych, o rozkładzie wykładniczym z parametrem Z, Taki szczególny przypadek rozkładu gamma nazywa się rozkładem Erlanga o n stopniach swobody.

Dla rozkładu gamma można wyznaczyć gęstość. Wyraża się ona wzorem

0

dla x > 0, dla x < 0,

gdzie b > 0, p > 0, a funkcja T(p) jest określona wzorem

r(p) = / x^p~^le~^xdx 0

i nosi nazwę funkcji gamma Eulera¹¹. Funkcja gamma Eulera nie jest funkcją elementarną. Ma jednak ciekawą (i całkiem elementarną) własność, V(p-\-1) = pV(p), która pozwala ograniczyć się jedynie do znajomości jej wartości dla 0 < p ^ 1. Proste obliczenia pokazują też, że F(l) — 1, skąd łatwo już otrzymać wzór: F(n) — (n— 1)! dla naturalnych n.

2.5.3. Zadania

2.5.1.    Znaleźć funkcję charakterystyczną rozkładu jednostajnego na odcinku

[0,1].

2.5.2.    Korzystając z wyniku zadania 2.5.1 i własności funkcji charakterystycznych, znaleźć funkcję charakterystyczną rozkładu jednostajnego na odcinku [a,b\.

ⁿLeonhard Euler (1707 - 1783), szwajcarski matematyk, fizyk i astronom, autor blisko 900 prac naukowych obejmujących prawie wszystkie współczesne mu działy matematyki i fizyki.