060

60

2. Zmienne losowe

2.5.3.    Korzystając z funkcji charakterystycznej rozkładu N(0,1) obliczyć momenty &-tego rzędu tego rozkładu.

2.5.4.    Pokazać, że

dla b > 0 i p > 0.

2.5.5.    Korzystając z funkcji charakterystycznej rozkładu gamma obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tego rozkładu.

2.5.6.    Niech X_x ,X_2?... ,X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach G}). Pokazać, że Y = X_x^JrX₂-{-----\-X_n ma rozkład N(ra, cr), gdzie

m — m_{ ^Jrm₂~\-----Vm_n oraz <7 = of + g\ H-----b 0%.

2.5.7.    Niech X₁,X₂,.. będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach N(m_/, CTy). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Z~a_xX_xĄ-----b a_nX_n, gdzie

a_t G M.

2.5.8.    Wyznaczyć funkcję charakterystyczną sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych o tym samym p.

2.5.9.    Wyznaczyć funkcję charakterystyczną rozkładu Poissona oraz sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Poissona.

2.5.10.    Znaleźć gęstość i funkcję charakterystyczną zmiennej losowej Y = X², gdzie X~N(0,1).