051

51

2.4. Funkcje charakterystyczne

Zadanie 2.4.12.

Korzystając z funkcji charakterystycznych znaleźć rozkład zmiennej losowej

gdy zmienne losowe X_l,X₂,...,X„ są niezależne o jednakowym rozkładzie gamma z parametrami b i p.

Zadanie 2.4.13*.

Pokazać, że jeśli gęstość rozkładu zmiennej losowej X jest funkcją parzystą, to funkcja charakterystyczna jest rzeczywista.

Zadanie 2.4.14*.

Pokazać, że jeśli zmienna losowa X przyjmuje tylko wartości całkowite, to funkcja charakterystyczna jest okresowa.

Zadanie 2.4.15*.

Transformatę Laplace’a rozkładu o dystrybuancie F(x) nieujemnej zmiennej losowej X określa się wzorem \j/(s) = Ee~'*, gdzie s jest zmienną zespoloną. Wyprowadzić wzór na moment rzędu k zmiennej losowej X, korzystający z transformaty Laplace’e tego rozkładu.

Zadanie 2.4.16.

Znaleźć transformatę Laplace’a rozkładu wykładniczego.

Zadanie 2.4.17.

Znaleźć transformatę Laplace’a rozkładu jednostajnego na odcinku [0,1].