095

95

i.2. Testy nieparametryczne

(.2. Testy nieparametryczne

6.2.1. Testy zgodności

Testy zgodności służą do weryfikacji hipotez o postaci rozkładów badanej populacji. Hipoteza zerowa, którą będziemy weryfikować będzie miała postać H₀ : F(x) — F₀(x) lub H₀ : F(x, 0) = F₀(x, 0), odpowiednio przeciw hipotezie alternatywnej H_x : F(jc) ^ F₀(;t) ^    ^ F_o(jc,0), gdzie ^ j^est

parametrem rozkładu, którego wartość też może być weryfikowana.

Przykład. Hipotezą może być H₀ : F(x) ~ N(m, a), gdzie m i a są pewnymi, nie interesującymi nas parametrami. Hipoteza może też mieć postać H₀ : F(jc)~N(0,ct) albo też H₀ : F(*) ~N(0,1).

Test służący do weryfikacji hipotezy o postaci rozkładu powinien mierzyć rozbieżności pomiędzy rozkładem hipotetycznym F₀(jt) a rozkładem empirycz-Test zgodności nym. Pierwszym omawianym tutaj takim testem jest test chi-kwadrat Pearso-Pearsona na. Polega on na tym, że oś liczbową dzielimy punktami d_iy i = 1,2,..., r — 1

na rozłączne przedziały A₍. Otrzymujemy w ten sposób r przedziałów,

Al = (—oo,d_x), A2 = [d_x,* 1 A_r ~ [d_r- \)⁰⁰) ■

Oznaczmy przez N_i liczbę obserwacji w przedziale A₍, gdzie n = /V, +/V₂ + —(-N_r. Niech p_i = Pr(X € A-), gdzie X jest zmienną losową (cechą w populacji generalnej), a F₀(x) jej dystrybuantą (hipotetyczną). Wtedy statystyka

(6.2.1)

Tylko MNW

mierzy rozbieżność między dystrybuantą empiryczną i dystrybuantą hipotetyczną (teoretyczną). Należy jednak zwrócić uwagę, że dla efektywnego obliczenia prawdopodobieństw p_i należy znać wszystkie parametry występujące w dystrybunancie F(jc). Jeżeli nie są one jednak znane, to trzeba je estymować metodą największej wiarogodności.

Twierdzenie 6.2.1.

Jeżeli nieznane parametry dystrybuanty F są oszacowane metodą największej wiarogodności, to dystrybuantą statystyki określonej wzorem (6.2.1) jest zbieżna dla n —> °° do dystrybuanty rozkładu chi-kwadrat Pe ar sona o r~~k— I stopniach swobody, gdzie k jest liczbą nieznanych parametrów dystrybuanty F{x).

Jeżeli n jest dostatecznie duże (n równe kilkadziesiąt, na przykład n ^ 60) oraz w każdej klasie A- jest co najmniej 8 wyników, tj. N-_t^ 8, to na podstawie twierdzenia 6.2.1 można przyjąć, że statystyka określona wzorem (6.2.1) ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat. Jeżeli w jakiejś klasie jest mniej niż