130

130

Odpowiedzi i wskazówki

4.2.3. Dane grupujemy w klasy o szerokości 2.5:

Klasa	14.0-16.5	16.5-19.0	19.0-21.5	21.5-24.0	24.0 - 26.5	26.5-29.0
Liczba wyników	6	7	14	12	6	3

a)    3ć = 20.9292,

b)    x = 20.9792.

Mediana jest równa 21.0 i jest w przybliżeniu równa średniej, co wskazuje, że rozkład jest zbliżony do symetrycznego.

4.2.4. x — 871.5, ,v² — 534688. Mediana należy do przedziału (600,900), co wskazuje na to, że więcej niż połowa lamp pracuje krócej niż średni czas pracy. Wskazuje to na asymetrię rozkładu.

5.1.1.    Wskazówka. Pokazać, że E7j = m dla i = 1,2,3. Najlepszym estymatorem jest T_v bo jego wariancja jest najmniejsza.

5.1.2.

a)    Tak.

b)    a =

OT

OT + OT

5.1.3. Wskazówka. Ś² jest estymatorem nieobciążonym wariancji dla dowolnego rozkładu. Stąd oba estymatory są nieobciążone.

5.1.4.

a)    Tak.

b)    Ponieważ musi być ET = p( 1 — p), to parametr c wyznaczamy z równania

(X X²\    .    ,    .    ,    , ,    n

cE---_T = p(l — p). Ponieważ EX^Z = np( 1 — p) +n p , to c =-.

\nn^z    n— 1

5.1.5.    Wskazówka. Sprawdzić, że E(X₍-₊₁ —X_i'j = 2c².

5.1.6.    Niech Z_; = |X_; — X .| = |łj|, gdzie

1 1

-^,₊ i------X_n,

n ⁺    n

1    1    n — 1

skąd Yj ~ N(0, o^J(n— 1 )/n) oraz gęstość zmiennej losowej Z,- wyraża się wzorem g{z)^: 2 f_Y(z) dlaz^O,

0    dla z < 0.

o ,    „    ,    2n(n—l)    .

2n(n— 1)

Stąd otrzymujemy EZ_; = ka\ -, a więc k =

5.1.7. Dla tej próby n = 20 oraz x = —0.131.

a)    ^ = 4.20,

b)    ś² = 4.42,

c)    w² = 4.06,