142 143 (3)

a)    3 = (2,1,3) € E³, E₀ = lin {(-1,4,1)};

b)    3 = (1,-1,2,0)e E\ E₀= lin {(2,0,1,-1), (1,1,-2,0), (1,1,1,3)};

c)    a = (l,2,...,n)e Eⁿ, E₀= lin {(1,0, ... 0), (0,. .,0,1)},

d)    p =    - x, Ea = lin {l,2z- 1} w przestrzeni jR[r] z iloczynem skalarnym

określonym wzorem

i

(P,?) = j p{x)q(x)dx\

o

^e)    / = 1 — cos 2z, E₀ = lin |sin r, sin -f x 11 w przestrzeni C ([0. 2tt]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem

2t

(f>9) = J f{x)g(z)dx\

o

0 / = *.-£o = lin {1, cosr, cos 2r,    ., cos nr} , w przestrzeni C((0,2x]) z iloczy

nem skalarnym jak wyżej;

g) f=x,Ec= lin {sin r,sin 2r,... ,sin nr} , w przestrzeni C((0,2x]) z iloczynem skalarnym jak wyżej.

O Zadanie* 14.4

Stosując macierzowy wzór na rzut ortogonalny znaleźć rzuty ortogonalne w odpowiednich przestrzeniach If¹ podanych wektorów u na wskazane pod przestrzenie lin {5i,ej,

a)    u = (13,-1,-5), 5] = (1,3,2), b₃ = (1,-2,3);

b)    « =(2,2,6,6), t?i =(1.1,1,1), 5₂ = (1,-1,1,1);

c)    u = (1,-1,3), b, = (2,1,0), b₂ = (1,0,2), b₃ = (0,2,1).

O Zadanie* 14.5

Metodą najmniejszych kwadratów znaleźć przybliżone rozwiązania podanych układów równań:

O Zadanie 14.6

Niech u, v będą ustalonymi wektorami przestrzeni euklidesowej E, przy czym v / 5. Znaleźć wzór na rzut ortogonalny wektora u na podprzestrzeń lin {v} .

O Zadanie 14.7

Niech 5, v będą niezerowymi wektorami z przestrzeni euklidesowej E. Znaleźć najkrótszy wektor postaci u + tH, gdzie t 6 R, i wykazać, że jest on ortogonalny do wektora v. Zilustrować otrzymany wynik na płaszczyźnie.

O Zadanie* 14.8

Niech E będzie przestrzenią euklidesową, a Eo jej pod przestrzenią wymiaru: a) u = 1; b) n = 2. Uzasadnić, że wektorem z przestrzeni Eo, leżącym najbliżej ustalonego wektora u € E, jest rzut ortogonalny wektora u na podprzestrzeń F₀.

O Zadanie* 14.9

Wykazać, że kąt (p nachylenia prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych na płaszczyźnie R² i mającej najmniejsze średniokwadratowe odchylenie od n zadanych punktów (a,, 6,), gdzie i = 1,..., n, jest dany wzorem

^ai&i + • •. + a_nbn

Odpowiedzi i wskazówki

14.2 a)    (i.,.ł,l);d)_JL(₈9,64.-32.24)_;

<0    ^fo^^sr*⁰ ** <^2x;e) (o.i.o).

O

^{14    3 a)}    (■ Ti'    T’Ti)    ^b)    (!'"i T--j)^{:c)    (1,}° • ’°’^{n);d) Po(x)}

e)    f₀(r) = 0, 0    ^    r    ^ 2t;    f)    f₀(z) =    *,    0    ^ x    <    2ir;

2    2    2    2

g) /₀(r) = — — sin r - - sin 2z--sin 3x — . .--sin ni 0 ^    ^ 2r.

1    Ł    i    Tl

14.4 a) (0.0.0); b) (y.2. y, y); c) (1,-1,3).

¹⁴⁵ a) >, = jj, to = 55 I b) *. = 5. »o = *c =