5II03

Egzamin. Fizyka teoretyczna 5.02.2003

1. Problemy teoretyczne

nJ (a) Dany jest układ mechaniczny o /V-stopuiarli swobody z funkcją Hamiltona niezależny od zmiennej q,\. Udowodnij, że taki ukiad da się sprowadzić do układu hmniitonowskiego z N — 1 stopniami swobody. Napisz jawny postać funkcji Hamiltona dla tego układu.

A''

(b) Udowodnij, że równanie Poissona posiada jednoznaczne rozwiązanie dla warunków brzegowych Dirichleta i Neumana.

2. Zadania

vj Za\l.l Rozważ potencjał V'(a) = q*/Ą+\qⁱ/2. Narysuj typowe portrety fazowe dla różnych wartości parametru A. Określ ilrfeć punków stałych i ich stabilnaść.

^ Zckd.2 Dana jest kula o promieniu R i rozkładzie ładunku

P(r) =

Q siu(nr/2/{)

8R    r⁵ ‘

Oblicz natężenie pola elektrycznego jako funkcję r dla r € [0, oo).

3. Tost

\l

\1

\)

K^{w ;j} -wymiarowej przestrzeni dany jest układ 7 punktów materialnycli połączonych sztywuo. Ile jest stopni swobody takiego układu? Jaki jest wymiar przestrzeni fazowej?

(b)    Rozważamy punkt materialny w 3-wymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej. Punkt materialny spełnia równania więzów

<i\ H -I- In z = 0, z = 0.

Jaką postać majy przesunięcia wirtualne zgodne z więzami?

(c)    Dane jest układ równań (Lorenza) :

(1)

x — •'t(—x -I- y) 2/    = rx - y - xz

= -bz + xy

/li¹! -

Jeśli objętość pewnego obszaru w chwili t = 0 wynosi V₀, to ile będzie wynosiła w granicy Ir* oo (uzasadnij)? Uwaga! Parametry c,b sy dodatnie.

Moment dipolowy zależy od czasu jak p(t) = e_xp₀ cos(3w²t). Jak zmieni się moc wypro-niieniowana jeśli u/ zwiększy się dwukrotnie? Dla jakiego kierunku moc promieniowania jest najmniejsza a dla jakiego największa?

(e) Dana jest funkcja Greena dla zagadnienia Dirichleta w polplaszczyźnie z > 0 G_d( r,r')=-i-

\|*<

4" y/(_x 4- x')² + (y - y')² + (z - z')² __I_

V(^x - *Y + [y - y')'* + (* - S')^a

Korzystając z funkcji Greena napisz formalne wyrażenia na poLencjal w pólphtszczyźnie jeśli V[x,y, z)|_s—q = exp{-(x² -I- y²)}. Uwaga! Jawna postać funkcji Greena nie jest tu potrzebna. N) Rozważ pole EM w falowodzie prostokątnym o bokach (a, b) oś falowodu pokrywa się z osią z:

E =j£₀ sin(Tx/a)co.s(cJ< - qz)

B =\Eo(q/uj) sin(7rx/a) cos(uit - qz) - kEo(ir/ua) cos{zx/a) sin(wt — qz)

Oblicz średnią prędkość przepływu energii przez dowolny powierzchnię prostopadłą do osi falowodu i średnią gęstość energii w falowodzie.