24II03

Egzamin. Fizyka teoretyczna 24.02.2003

1. Problemy teoretyczne

V®

Dany. jest układ mechaniczny o N-stopniach swobody z funkcją Hamiltona niezależną od zmiennej qs- Udowodnij, że taki układ da się sprowadzić do układu hamiltonowskiego z iV - 1 stopniami swobody. Napisz jawną postać funkcji Hamiltona dla tego układu.

Wyprowadź z równań Maxwella równanie ciągłości

2. Zadania

1. Dane są dwa nieskończone, współosiowe walce W\ i Wj o promieniach R\ < i?₂ odpowiednio. W walcu o promieniu Wj płynie prąd o natężeniu 7i a w walcu W₂ prąd o natężeniu /₂. Zakładając, że gęstości obu prądów są jednorodne (nie zależą od punktu) wyznacz natężenie pola magnetycznego w całej przestrzeni. Podaj warunek kiedy pole na zewnątrz jest równe 0.

• ^2^ Układ hamiltonowski o 1 st. swobody dany jest funkcją Hamiltona H = p^a/a + V(q). Napisz dla tego układu funkcje Lagrange’a

3. Test

^ f(aj) Które z równań Maxwella są spełnione tożsamościowo, jeśli wyrazić pola elektromagnetyczne przez potencjał wektorowy A i skalarny _r' (uzasadnij stwierdzenie rachunkiem)?

V((b) W 3-wymiarowej przestrzeni dany jest układ 2 punktów materialnych leżących na powierzchni z — x² — y² = 0 . Ile jest stopni swobody takiego układu? Jaki jest wymiar przestrzeni fazowej?

© YV zadaniu poprzednim napisz jawną postać przesunięć wirtualnych V^(ci)) Dane jest układ równań (Lorenza) :

(1)

x = cr(—x + y) y = rx - y - xz i = -bz + xy

Jeśli objętość pewnego obszaru w chwili t = 0 wynosi V₀, to ile będzie wynosiła w granicy t —» oc (uzasadnij)? Uwaga! Parametry c.b są dodatnie.

?

f Podaj definicję zmiennych działanie-kąt w układzie z jednym stopniem swobody.

Jak wygląda transformacja cechowania potencjałów i czego nie zmienia? Podaj warunki cechowania Coulomab i Lorentza