24II03a

Egzamin. Fizyka teoretyczna 24.02.2003

1.    Problemy teoretyczne

\l (|Ą^a) jDany jest układ mechaniczny o iV-stopniach swobody z funkcją Hamiltona niezależną od zmienni nej qs/. Udowodnij, że taki układ da się sprowadzić do układu hamiltonowskiego z N — 1 stopniami swobody. Napisz jawną postać funkcji Hamiltona dla tego układu.

JM) Wyprowadź z równań Maxwella równanie ciągłości 333, 3pp

2.    Zadania

jl. Dane są dwa nieskończone, współosiowe walce Wj i W₂ o promieniach R\ < R₂ odpowiednio. W walcu o promieniu W) płynie prąd o natężeniu Ą a w walcu W₂ prąd o natężeniu I₂. Zakładając, że gęstości obu prądów są jednorodne (nie zależą od punktu) wyznacz natężenie pola magnetycznego w całej przestrzeni. Podaj warunek kiedy pole na zewnątrz jest równe 0.

fi-' Układ hamiltonowski o 1 st. swobody dany jest funkcją Hamiltona H = p^a/a + V(q). Napisz dla tego układu funkcje Lagrange'a

3. Test

y/\ Które z równań Maxwella są spełnione tożsamościowo. jeśli wyrazić pola elektromagnetyczne przez potencjał wektorowy A i skalarny p (uzasadnij stwierdzenie rachunkiem)?

)A W 3-wymiarowej przestrzeni dany jest układ 2 punktów materialnych leżących na powierzchni z-x- -y- = 0 . Ile jest stopni swobody takiego układu? Jaki jest wymiar przestrzeni fazowej?

zadaniu poprzednim napisz jawną postać przesunięć wirtualnych 'A ‘M^Dane jest układ równań (Lorenza) :

i    = <r(—z + y)    (1)

y = rz - y — xz i =-bz~ zy

Jeśli objętość pewnego obszaru w chwili t = 0 wynosi V₀. to ile będzie wynosiła w granicy t — oc (uzasadnij)? Uwaga! Parametry cr.b są dodatnie.

Podaj definicję zmiennych działanie-kąt w układzie z jednym stopniem swobody.

'A (f) Jak wygląda transformacja cechowania potencjałów i czego nie zmienia? Podaj warunki cechowania Coulomab i Lorentza