03all

Egzamin. Fizyka Icorctyrzim 5.02.200.1

1.    Problemy teoretyczne

(u) Dany j*-sl układ mrclintiirr.ny n A/-4ii|iiiinrłi swobody r. funkcją Ihtinillnnn nitrznlrJuii) tyl zmiennej 7,v. Udowodnij, ie inki układ »ln się sprowadzić rlo układu linmillonowskicgo z /V - l stopniami *wolw>dy. N.ipinc jn»-ni|    funkcji Hamiltona fila lego układu.

_r Ą . u'"    (b) Udowodnij, że równanie Poisiona posiada jednoznaczne rozwiązanie dla warunków brzegowych

H'f    Dirichksa I Neumana.

2.    Zadania

\J Za\l. 1 Pozwą* potencjał V(j) m «y*/-|4-Sq*/2. Narysuj typowe portrety fazowi; dla różnych wartości pnriiiiirini A. Określ ilnfeć punków stałych I Idt stabilność.

^    Z^d.2 Dana jest kula o promieniu R i rozkładzie ładunku

. » Q f4ia(»r/2J7)

«^r)' m—7‘—•

Oblicz natężenie poln elektrycznego jako funkcję r dla r € (0, co).

.1. Tort.

\|    -1-wyutimt/WTj przestrzeni dany jest tiklnd 7 punktów ttmlcrinlnyth |>ołąc7.onych sztywno.

Ile jest stopni swobody takiego układu? Jaki jest wytnlnr przestrzeni fnzowej?

\j (b) Rozważamy punkt materialny w 1-wymłarowcj przestrzeni konfiguracyjnej. Punkt materialny spełnili równania więzów

(tttf + fu z » 0. z *= 0.

Jaką ptiliłr mają przesunięcia wirtualne zgodne % więźniu i?

\)    (c) Dnnn jest uklnd równań (Lorenza):

i - /?(-* 4- y)    (1)

y * rz - y - xz •    i ■ -bs 4- xy

Jeśli objętość pewnego obszaru w chwili t ** 0 wynosi to ile będzie wynosiła w granicy t —* co (uzasadnij)? Uwaga! Parametry tr.b są dodatnie.

— \)^?    (H)_% Moment dipolowy zależy od czasu jak p(t) «,Po C08{3ut⁷ł). Jak zmieni się moc wypro-

ńueniowaua jeśli w zwiększy się dwukrotnie? Dla jnkiego kierunku moc promieniowania jest najmniejsza a dla jakiego największa?

(e) Dana jest funkcja Grecnn dla zagadnienia Diricbleta w poi płaszczyźnie r > 0 Go(^r>^r )    4, ( y_{(r +} jj.jł + („ _ u-y + (s - r')¹

'V(*+(s-s')¹)

Korzystając z funkcji Grcenn napisz formalne wyrażenia na polcnrjnl w pól płaszczyźnie jeśli V[x.g. :Jl_łlrt « czpl-Jr* + y⁵)). Uwaga! Jawna postać funkcji Grcenn nic jest tu potrzebna. ?t) Rozwieź pule EM w Talow-odzic prostokątnym o Iwikadt (a. 6) oś falowodu pokrywa się 2 osią s: E wj^isin(?x/a)cns(w( - ijz)

B aiCo(7/u;)sin(ax/fi) cosfwf - tjz) - k£o(~/vn) cos(sx/n)sin(u;£ -7 qz)

Oblicz średnią prędkość przepływu energii przez dowolną powierzchnię prostopadłą do osi falowodu i średnią gęstość energii w falowodzie.

Egzamin. Fizyka teoretyczna 24.02.2003

1.    Problemy teoretyczne

ftanDany jest układ mechaniczny o A-stopniech swobody z funkcją Hamiltona niezależną od zmlen-^✓ńej 7*. Udowodnij, że taki układ da się sprowadzić do układu hamiltonowskiego z N - 1 . k stopniami swobody. Napisz Jawną postać funkcji Hamiltona dla tego układu.

\AJ iA Wyprowadź z równań Maxtvella równanie ciągłości 353,

2.    Zadania

Dane są dwa nieskończone, współosiowe walce Ił', | Wj o promieniach R\ < Rj odpowiednio. W walcu o promieniu tP, płynie prąd o natężeniu /_t a w walcu IKj prąd o natężeniu /j. Zakładając, że gęstości obu prądów są jednorodne (nie zależą od punktu) wyznacz natężenie

Qola magnetycznego w całej przestrzeni. Podaj warunek kiedy pole na zewnątrz jest równe 0. lad hamiltonowski o 1 st. swobody dany jest funkcją Hamiltona    /o + V(ę). Napisz

dla tego układu funkcje Lagrange a

Z Test

Które z równań M&xwełla są spełnione toisamoścłowo. jeśli wyrazić pola elektromagnetyczne przez potencjał wektorowy A i skalarny ^ (uzasadnij stwierdzenie rachunkiem)?

A’ 3-wymiarowej przestrzeni dany jest układ 2 punktów materialnych leżących na powierzchni x² - y¹ * 0 . Ile jest stopni swobody takiego układu? Jaki jest wymiar przestrzeni fazowej? W zadaniu poprzednim napisz jawną postać przesunięć wirtualnych 'Dane jest układ równań (Lorenza) :

O)

■    <r(-x + y) • rx - y — z:

■    -6:    ry

Jeśli objętość pewnego obszaru w chwili t =» 0 wynosi V₀. to ile będzie wynosiła w granicy — x (uzasadnij)? Uwaga! Parametry «r.6 są dodatnie.

'odaj definicję zmiennych dzialanie-kąt w układzie z jednym stopniem swobody.

Jak wygląda transformacja cechowania potencjałów i czego nie zmienia? Podaj warunki cechownia Coulomab i Lorentza