03all

Egzamin. Fizyka teoretyczna 5.02.2003

1. Problemy teoretyczne

(n) Onny jest układ ntrrlintilrziiy n AJ-*Uipiilnrti swobody z funkcją Umililiruin niezależną od zmiennej 7,v. Udowodnij. że laki układ iln się sprowadzić do układu Imiuillonowskicgo z /V - l stopniami swolujdy. Napisz jawną |MMłnć funkcji llnniiltorm dla lego nklndn.

-•3

A'l

(b) Udowodnij, że równanie Potssona posiada jednoznaczne rozwiązanie dla warunków brzegowych Dirichkta i Nemnann.

2. Zadania

\) Zo\l.l Pozwał potencjał V'(j) «* •f*/-|-ł-Jtq³/2. Narysuj typowe portrety fazowo dla różnych wartości parninrtrn ,\. Określ ilrisć punków stałych I leli stabilność.

^ Zbl.2 l):uin jest kula o promieniu P i rozkładzie ładunku

. . Q Mi.(»r/2/f)

«^r) '8rt—71—•

Oblicz natężenie poln elektrycznego jako funkcję r dla r € [0, co).

3. Test

\l    3-wyiiiinnjwnj przestrzeni dany jest układ 7 punktów umlcHnlnycli połączonych sztywno.

Ile jest stopni swobody takiego nklndn? Jaki jest wymiar przestrzeni fazowej?

\J (b) Rozważamy punkt materialny w 3-wymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej. Punkt materialny spełnia równania więzów

a if/ 4- h\z = 0. z = 0.

•Inka inwlnr. mają przesunięcia wirtualne /.godne z więzami?

\)    (c) Dano jest układ równań (Lorenza) :

i -*(-x + y)    (!)

y » rx - y - xz i — -bs + xy

M¹'

•Jeśli objętość pewnego obszaru w chwili t *» 0 wynosi kfc, to ile będzie wynosiła w granicy t —• co (uzasadnij)? Uwaga! Parametry tr.b są dodatnie.

(tty Moment dipolowy zależy od czasu jak p(t) = e_xpo cos(3o/²0- Jak zmieni się moc wypro-mieniownna jeśli ul zwiększy się dwukrotnie? Dla jnkiego kierunku moc promieniowania jest najmniejsza a dla jakiego największa?

(e) Dana jest funkcja Greenn dla zagadnienia Diricble.ta w poi płaszczyźnie z > 0

■H

C7₀(r.r')

_1_

\/(l + z')‘ 4- (y — I/)¹ + (; - =')-_I

~ A*-*)¹ +(!/->')' + (=-=')'

Korzystając z funkcji Greenn nnpisz rornmliie wyrażenia lin potencjał w pól płaszczyźnie jeśli VC*.*    = cxp(-(x¹ + y²)}. Uwaga! Jawna postać funkcji Grccna nie jest tti potrzebnn.

?t) Rozważ pule EM w falowodzie prostokątnym o bokndl (a. 6) oś falowodu pokrywa się z osia z: E *j£|sin(?x/n)c0*(urC - ijz)

E “JEo(<7/u»)słn(ax/fi)cosfuit - ęz) - kEo("/u;n) cos(xx/n)sin(^;t - ęz)

Oblicz średnią prędkość przepływu energii przez dowolną powierzchnię prostopadłą do osi falowodu i <mlnia gęstość energii w falowodzie.

1.    Problemy teoretyczne

M v ^ )Dnny jest układ mechaniczny o A'-stopniach swobody z funkcją Hamiltona niezależną od zmień* 7.v- Udowodnij, że taki układ da się sprowadzić do układu hamiltonowskiego t N - \ /    \ Stopniami swobody. Napisz jawną postać funkcji Hamiltona dla tego układu.

\/\J t^CWyprowadi z równań Marwełla równanie ciągłości 333,

2.    Zadania

Dane są dwa nieskończone, współosiowe walce W_x | 4Vj o promienłnch R\ < rtj odpowiednio. W walcu o promieniu IPj płynie prąd o natężeniu /1 a w walcu Wj prąd o natężeniu fj. Zakładając, że gęstości obu prądów są jednorodne (nie zależą od punktu) wyznacz natężenie

Qola magnetycznego w całej przestrzeni. Podaj warunek kiedy pole na zewnątrz jest równe 0. lad hamiltonowrski o 1 st. swobody dany jest funkcją Hamiltona H w pP/a -f ^(ę). Napisz dla tego układu funkcje Lagrange a

3. Test

\    ¹ równań \faxwełla są spełnione toisamościowo. jeśli wy razić pola elektromagnetyczne

^Aprzez potencjał wektorowy A I skalarny ^ (uzasadnij stwierdzenie rachunkiem)?

/Xy 3*wymiarowej przestrzeni dany jest układ 2 punktów materialnych leżących na powierzchni / i - x² - y¹ a 0 . Ile jest stopni swobody takiego układu? Jaki jest wymiar przestrzeni fazowej? I lcQV zadaniu poprzednim napisz jawną postać przesunięć wirtualnych ^(•'tWtfbane jest układ równań (Lorenza) :

O)

“ a(-x + y) * rx - y — x: ■ -6: + ry

Jeśli objętość pewnego obszaru w chwili t =* 0 wynosi V₀. to ile będzie wynosiła w gTanicy — x (uzasadnij)? Uwaga! Parametry «r.6 są dodatnie.

’odaj definicję zmiennych dzialanie-kąt w układzie z Jednym stopniem swobody.

Jak wygląda transformacja cechowania potencjałów l czego nie zmienia? Podaj warunki cecho-nia Coulomab i Lorentza