algebra 19 01 10 str1

Geometria różniczkowa - zadania

1)    Przekształcić opis krzywych o równaniach:

a)    "r(/) = [e'cos/, e'sin/, e‘]    (/ e R) (helisa stożkowa)

b)    *r(/) = [2cos/, 2sin/, -|-/]    (/ e R).

wprowadzając parametr naturalny.

2)    Znaleźć równania płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do elipsoidy

o równaniu ^    ^    = 1 w pukcie P₀(x_o,y₀,z₀).

3)    Wyznaczyć prostą styczną, płaszczyznę normalną i płaszczyznę ściśle

styczną do krzywej:

f x² + y² = 10

a)    r : 4    (bicy 1 indryki) w punkcie P₀ (1,3,4);

^ y² + z² = 25

b)    T : \ ^{Xy + Z} ^ w punkcie /\,( 1,1,1).

[ 2x-yz = 1

4)    Wyznaczyć trójścian Freneta krzywej

a)    T : 7(/) = [/- sin/, 1-cos/, 4siny] wpunkcie /*(y-1, 1, 2./2),

b)    K : ~r(t) = [/, y/², y/³ ] w punkcie P₀ odpowiadającym parametrowi t₀ = 0.

5)    Wykazać, że krzywa K : ~r{t) - [t² + 1, t² -1 + 2, / ] leży w płaszczyźnie oraz znaleźć równanie tej płaszczyzny.

6)    Wykazać, że krzywa K : ~r(t) = [sin2/, 1 - cos2/, 2cos/] leży na powierzchni sfery oraz wyznaczyć jej równanie.

7)    Wykazać, że krzywa K : ?(/) = [e'cos/, e'sin/, 2/ ] leży

na powierzchni S : x² + y² - e^z - 0 oraz, że płaszczyzna ściśle styczna do niej jest płaszczyzną styczną do danej powierzchni.