CCF20091117000

230

CIĄGI

Granice ciągów

Ćwiczenie A. Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym a_n ^{= 8} ' (?) ' ^{Zaznacz w} układzie współrzędnych kilka punktów należących do wykresu tego ciągu, tzn. punktów o współrzędnych (n, a_n).

Poniżej podano wzory ogólne oraz zapisano kilka wyrazów trzech różnych ciągów. Na rysunkach zilustrowano te ciągi za pomocą wykresów.

-* a_n =    ^a"

_1 _il -il _i 3.    -1

’    2’    3’    4’

-1- •

Łatwo zauważyć, że im większa hcz-    _____

ba n, tym wyraz a_n jest bliższy liczbie -2. Możemy powiedzieć, że wyrazy tego ciągu zbliżają się do bczby -2.

-> b„ = 1 - 0,7"    _K

0,3, 0,51, 0,657, 0,7599, ...    1 —

W tym ciągu coraz mniejsze są różnice między liczbą 1 a wyrazami ciągu. Możemy powiedzieć, że wyrazy tego ciągu zbliżają się do liczby 1.

n

= 2 +	(-1)"
	n	Cn
2 i 2’	12 21 li 3’ 4’ 5’

n

W tym ciągu nieskończenie wiele wyrazów jest większych od liczby 2 i nieskończenie wiele wyrazów jest mniejszych od liczby 2, ale wyrazy tego ciągu wyraźnie zbliżają się do bczby 2.

O każdym z tych trzech ciągów możemy powiedzieć, że jest zbieżny do pewnej bczby. Liczbę, do której „zbiegają” wyrazy ciągu, nazywamy granicą ciągu.

Granicą ciągu (a„) jest więc liczba -2. Zapisujemy to

tak:    lim a_n = -2 albo tak:    a_n —- -2 przy n —- oo

n—oo

Czytamy: granicą ciągu (a_n) jest liczba -2 (przy n dążącym do nieskończoności).